Vous êtes-vous déjà demandé quelle était la solution à l’équation f'(x) = f(x) ? Vous aurez sûrement deviné, c’est la fonction exponentielle et dans quelques minutes cette fonction n’aura plus aucun secret pour vous !!
Notations
La fonction exponentielle est notée exp(x) ou ex.
Caractéristiques
La fonction exponentielle est continue sur l’ensemble des réels.
La fonction exponentielle est dérivable sur l’ensemble des réels.
La fonction exponentielle est strictement positive sur l’ensemble des réels.
( Pour tout x réel exp(x) > 0)
La fonction exponentielle est strictement croissante sur l’ensemble des réels.
( Pour tout x et y réels exp(x) > exp(y) si et seulement si x > y)
Graphe
Propriétés
$$e^0\;=\;1$$
$$e^{A+B}\;=\;e^A\times e^B$$
$$e^{A-B}\;=\;\frac{e^A}{e^B}$$
$$e^{-A}\;=\;\frac1{e^A}$$
$$e^{AB}\;=\;\left(e^A\right)^B$$
$$\forall x\;\;\ln(e^x)=x$$
$$\forall x>0\;\;e^{\ln(x)}=x$$
Dérivation
$$f(x)\;=e^x\;\;\Rightarrow\;f'(x)\;=\;e^x$$
$$f(x)\;=e^{Ax+B}\;\;\Rightarrow\;f'(x)\;=\;Ae^{Ax+B}$$
Plus généralement, pour toute fonction u(x) dérivable :
$$f(x)\;=e^{u(x)}\;\;\Rightarrow\;f'(x)\;=\;u'(x)e^{u(x)}$$
Intégration
$$f(x)\;=e^x\;\;\Rightarrow\;F(x)\;=\;e^x+C$$
$$f(x)\;=e^{Ax+B}\;\;\Rightarrow\;F(x)\;=\;\frac1Ae^{Ax+B}+C$$
Plus généralement, pour toute fonction u(x) dérivable et qui ne s’annule pas sur l’intervalle d’étude :
$$f(x)\;=e^{u(x)}\;\;\Rightarrow\;F(x)\;=\;\frac1{u'(x)}e^{u(x)}+C$$
Limites et croissances comparées
$${\lim_{x\rightarrow+\infty}}_{}e^x\;=\;+\infty$$
$$\lim_{x\rightarrow-\infty}e^x\;=\;0$$
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x}{x^n}=\;\;+\infty$$
$$\lim_{x\rightarrow-\infty}e^xx^n=\;\;0$$
“Les fonctions exponentielles l’emportent sur les fonctions puissances”
Tableau de variation et de signe
Exercices
1) Étudier les variations de la fonction, $$f(x)\;=\left(x^2-x-6\right)\times e^x$$
2) Résoudre l’équation, $$e^{2x}\;-\;6e^x\;+\;8\;=\;0$$
3) Montrer que pour tout x on a, $$e^x\;>\;x$$
Corrections
1) Pour étudier les variations d’une fonction, on étudie le signe de sa dérivée.
– Calcul de dérivée :
On pose $$u(x)\;=\;x^2-x-6$$
$$v(x)\;=\;e^x$$
Donc $$u'(x)\;=\;2x-1$$
$$v'(x)\;=\;e^x$$
On obtient, $$f'(x)\;=\left(2x-1\right)e^x+\;\left(x^2-x-6\right)e^x$$
$$f'(x)=e^x\left(2x-1\;+\;x^2-x-6\right)$$
$$f'(x)=e^x\left(x^2+x-7\right)$$
– Étude du signe :
Tout d’abord, on sait que la fonction exponentielle est une fonction strictement positive donc ex > 0 pour tout x.
Il nous suffit donc d’étudier le signe du polynôme x2+x-7.
on a $$\triangle=\;b^2-4ac$$
$$\triangle=\;1^2-4\times1\times\left(-7\right)$$
$$\triangle=\;29>0$$
Le polynôme admet deux racines réelles,
$$z_1=\frac{-1-\sqrt{29}}2$$
$$z_2=\frac{-1+\sqrt{29}}2$$
Donc le polynôme est du signe de a dans les intervalles ]-∞ ; z1[ et [ z2 ; +∞[ et du signe opposé à a entre les deux racines.
C’est-à-dire que le polynôme est négatif sur l’intervalle ]z1 ; z2[ et positif sur le reste.
La fonction exponentielle étant positive la fonction f'(x) est de même signe que le polynôme précédent.
-Conclusion sur les variations de la fonction :
La fonction f(x) est donc décroissante sur l’intervalle ]z1 ; z2[ est croissante pour tout x en dehors de cet intervalle.
2) Pour résoudre cette équation, on va utiliser une astuce qui s’appelle le changement de variable, c’est très simple :
On pose Z = ex .
De plus, on sait que e2x = (ex)2
On peut donc transformer l’équation initiale en : $$Z^2-6Z+8$$
Désormais, on peut résoudre l’équation facilement.
$$\triangle=b^2-4ac$$
$$\triangle=4$$
Donc, $$Z_1=\;\frac{6+\sqrt4}2=4$$
$$Z_2=\frac{6-\sqrt4}2=2$$
Or, on a posé Z=ex , on a donc les deux équations suivantes :
$$e^x=4$$
$$e^x=2$$
Donc, les deux solutions de l’équation du début sont :
$$x=\ln\left(4\right)$$
$$x=\ln\left(2\right)$$
3) Pour cette question, on va raisonner par disjonction de cas :
– Pour x = 0
$$e^0=\;1\;>\;0$$
– Pour x < 0
Pour tout x entre –∞ et 0, on a x < 0 alors que ex > 0 donc ex > x
– Pour x > 0
Pour cette étape, on va étudier les variations de f(x)= ex – x.
Si ex – x est croissante alors ex croit plus vite que x
Si ex – x est décroissante alors ex croit plus lentement que x
Pour étudier les variations d’une fonction on va étudier le signe de sa dérivée.
La dérivée est: $$f'(x)\;=\;e^x-1$$
De plus, pour x = 0 on a e0 = 1.
La fonction exponentielle étant croissante pour tout x > 0, ex > 1.
Donc $$f'(x)\;=\;e^x-1$$
Donc, la dérivée étant positive dans l’intervalle d’étude la fonction f(x) est croissante.
De plus, pour x = 0 on a déjà vérifié que la propriété était vraie, de plus la fonction exponentielle croit plus vite que la fonction x, donc pour tout x > 0, ex > x
– Conclusion
Pour conclure, pour tout x ∈ ℝ, ex > x
