Eh oui, le cosinus ne se résume pas seulement à l’adjacent sur l’hypoténuse. Cette fonction cache de nombreux autres secrets !
Notation
La fonction cosinus est notée cos(x)
Caractéristiques
La fonction cosinus est continue sur l’ensemble des réels.
La fonction cosinus est dérivable sur l’ensemble des réels.
La fonction cosinus est positive sur tout intervalle [ -π/2+2kπ ; π/2+2kπ ] en particulier sur l’intervalle [ -π/2 ; π/2 ]
La fonction cosinus est négative sur tout autre intervalle, en particulier sur l’intervalle [ π/2 ; 3π/2 ]
La fonction cosinus est croissante sur tout intervalle [ -π+2kπ ; 2kπ [ en particulier sur l’intervalle [ -π ; 0 [;
La fonction cosinus est décroissante sur tout autre intervalle, en particulier sur l’intervalle [ 0 ; π ].
La fonction cosinus est une fonction paire, c’est-à-dire que cos(-x)=cos(x)
La fonction cosinus est une fonction 2π-périodique, c’est-à-dire que cos( x+2kπ )= cos( x )
Graphe
Propriétés
Voici les propriétés de la fonction cosinus qu’il faut connaître et savoir retrouver !
$$\cos\left(x+2\pi\right)=\cos\left(x\right)$$
$$\cos\left(-x\right)=\cos\left(x\right)$$
$$\cos\left(\pi-x\right)=\cos\left(\pi+x\right)=-\cos(x)$$
$$\cos\left(\frac\pi2-x\right)=\cos\left(\frac\pi2+x\right)=\sin(x)$$
$$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$$
$$-1\leq\cos(x)\leq1$$
Valeurs remarquables
La fonction cosinus a quelques valeurs remarquables qu’il faut connaître par coeur !
$$\cos(0)=1$$
$$\cos(\frac\pi6)=\frac{\sqrt3}2$$
$$\cos(\frac\pi4)=\frac{\sqrt2}2$$
$$\cos(\frac\pi3)=\frac12$$
$$\cos(\frac\pi2)=0$$
Dérivation
Si $$f(x)=\cos(x)$$
Alors, $$f'(x)=-\sin(x)$$
Plus généralement, pour toutes fonctions u(x) dérivables:
Si $$f(x)=\cos(u(x))$$
Alors, $$f'(x)=-u'(x)\times\sin(u(x))$$
Primitives
Si $$f(x)=\cos(x)$$
Alors, $$F(x)=\sin(x)+C$$
Plus généralement, pour toutes fonctions u(x) dérivables et qui ne s’annule pas sur l’intervalle d’étude:
Si $$f(x)=\cos(u(x))$$
Alors, $$F(x)=\frac1{u'(x)}\sin(u(x))+C$$
Tableau de signe
Voici le tableau de signe de la fonction cosinus de x sur l’intervalle ] -π ; π [. ( Pour tous les x en dehors de cet intervalle on peut retrouver leurs signes grâce à la périodicité de la fonction. )
Tableau de variations
Voici le tableau de variation de la fonction cosinus de x sur l’intervalle ] -π ; π [. ( En dehors de cet intervalle, on peut retrouver les variations de la fonction grâce à la périodicité de cette dernière. )
Exercices
1) Déterminer la limite en +∞ de la fonction suivante: $$f(x)=\frac{\cos(x)+10}x$$
2) Dresser le tableau de variations de la fonction suivante sur l’intervalle [ 0 ; π/2 [ : $$g(x)=\frac1{\cos(x)}$$
3) Déterminer la parité de la fonction suivante: $$h(x)=x\times\cos(x)$$
Corrections
1) lorsque x tend vers l’infinie l’on ne connaît pas la limite de cos(x), il faut donc trouver une astuce pour déterminer la limite de cette fonction sans utiliser la limite du cosinus.
Cependant, on sait que la fonction cosinus est minorée par -1 et majoré par 1.
On a donc, $$\frac{-1+10}x\leq\frac{\cos(x)+10}x\leq\frac{1+10}x$$
$$\frac9x\leq\frac{\cos(x)+10}x\leq\frac{11}x$$
Or, on remarque que les deux fonctions qui bornes f(x) tendent vers 0 en +∞.
D’après le théorème des gendarmes, on a: $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\cos\left(x\right)+10}x=0$$
2) En observant le cercle trigonométrique, on sait que la fonction cosinus est une fonction décroissante sur l’intervalle [ 0 ; π/2 [
Donc la fonction $$g(x)=\frac1{\cos(x)}$$
est une fonction croissante.
De plus, on a $$\frac1{\cos(0)}=\frac11=1$$
et $$\frac1{\cos({\displaystyle\frac\pi2})}=\frac10=+\infty$$
3) Une fonction est paire si; $$f(-x)=f(x)$$
Une fonction est impaire si: $$f(-x)=-f(x)$$
Si aucune des deux formules ne correspond, la fonction n’est ni paire, ni impaire.
Or, on sait que, $$\cos(-x)=\cos(x)$$
Donc, $$h(-x)=-x\times\cos(-x)$$
$$h(-x)=-x\times\cos(x)$$
$$h(-x)=-h(x)$$
Donc, la fonction est impaire.
