Même avec les outils de probabilité que l’on a, il est parfois difficile de déterminer certaines probabilités. C’est pour cela que l’on introduit les variables aléatoires, venez les découvrir avec moi !!
On rappel la formule des coefficients binomiaux:
$$\forall n\in\mathbb{N},\;\forall k\leq n,\;\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\;=\frac{n!\;}{k!\;\times\;(n-k)!}$$
Où $$n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times…\times2\times1$$
Définition
Une variable aléatoire est une fonction définie sur Ω dans ℝ. (Une variable aléatoire est une fonction qui s’applique à tout évènement d’une expérience aléatoire et lui associe un nombre réel. On la note X)
{ X=k } = { ω∈Ω tel que X(Ω)=k }
Loi d’une variable aléatoire
Déterminer la loi d’une variable aléatoire X revient à déterminer pour toutes les valeurs que prend X, P(X=xi)
Pour cela, il y a deux manières:
– Déterminer une formule générale, par exemple P(X=k)=0.5k
– Réaliser une étude cas par cas, par exemple P(X=1)=0.7 et P(X=2)=0,3
Espérance d’une variable aléatoire
L’espérance d’une variable aléatoire est la valeur que l’on s’attend à obtenir si on répète un grand nombre de fois un processus.
Par exemple, l’espérance d’un lancé de dé est égale à 3,5.
En réalité, pour un nombre de valeurs fini, l’espérance est une moyenne pondérée par les probabilités que chaque valeur que la variable aléatoire peut prendre.
Pour cet article, on va rester dans le cas où la variable aléatoire est discrète, c’est-à-dire à nombre finis d’issues (ou infinie dénombrable).
Soit X une variable aléatoire, l’espérance est définie par: $$E\left[X\right]=\sum_{i=0}^nx_i\;P(X=x_i)$$
Par exemple, soit X la variable aléatoire décrivant un lancer de dés. Cette variable, peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6 et chaque probabilité de tomber sur un de ces chiffres est de 1/6.
Donc, $$E\left[X\right]=1\times\frac16+2\times\frac16+…+6\times\frac16$$
$$E\left[X\right]=\frac{21}6=3,5$$
Bien sûr, il n’est pas commun que la probabilité de chaque issue soit la même comme de le cas précédent, on adapte donc dans la formule !
L’espérance est linéaire, c’est-à-dire que pour X et Y deux variables aléatoires on a: $$E\left[aX+bY\right]=a\times E\left[X\right]+b\times E\left[Y\right]$$
Variance et Ecart-type
La variance d’une variable aléatoire est la moyenne des carrés des écarts entre les termes de la série et leurs valeurs moyennes, elle est donc définie par
$$V(X)=E\left[\left[X-E\left[X\right]\right]^2\right]$$
Cependant, il existe un formule beaucoup plus “pratique” à utiliser. $$V(X)=E\left[X^2\right]-E\left[X\right]^2$$
L’ecart-type est défini par: $$\vartheta\left(X\right)=\sqrt{V(X)}$$
L’écart-type est un indicateur de dispersion autour de l’espérance. Plus l’écart-type d’une variable aléatoire est grand, plus la dispersion autour de son espérance est grande.
Schéma de Bernoulli
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0;1[ noté Be(p) si:
– X prend comme valeur 0 ou 1 ( échecs / succès )
– P(X=1)=p et donc P(X=0)=1-p
Dans ce cas: $$E\left[X\right]=p$$ $$V\left[X\right]=p\left(1-p\right)$$ $$\vartheta\left[X\right]=\sqrt{p\left(1-p\right)}$$
Loi Binomiale
Si on répète n fois une expérience de Bernoulli de manière équivalente et indépendante, alors X suit une loi binomiale de paramètre n et p.
On a donc: $$P(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times p^k\times\left(1-p\right)^{n-k}$$
Dans ce cas: $$E\left[X\right]=np$$ $$V\left[X\right]=np\left(1-p\right)$$ $$\theta\left[X\right]=\sqrt{np\left(1-p\right)}$$
Exercices
1) On lance un dé cubique bien équilibré, si le résultat du dé est supérieur strictement à 4, la variable aléatoire X prend comme valeur 1. Dans le cas contraire, elle prend 0.
– Donner la loi de X, puis déterminer son espérance, sa variance et son écart=type.
2) Dans la rue, un homme vous propose de jouer à son jeu,
Les règles sont simples:
On paie 3 euros pour lever un des trois gobelets posé sur la table, il y en a 2 vides et 1 avec une balle bleu en dessous. On ne connaît pas les contenues de chaque gobelet à l’avance.
Si on tombe sur la balle bleue en tirant un gobelet on gagne 8 euros et dans le cas contraire on ne gagne rien. On note Y la variable aléatoire décrivant le jeu.
– Est-il “rentable*” de jouer à son jeu ?
3) Un étudiant postule pour un job étudiant de 20 entreprises, avec un taux de réponse de 0.1.
Quelle est la probabilité que l’étudiant reçoive au moins 1 réponse.
Corrections
1) Les seules issues possibles pour que X=1 sont 5 et 6. De plus, le dé est équilibré, donc il y autant de chances de faire chaque chiffre. Donc $$P\left(X=1\right)=\frac26$$
nécessairement, $$P\left(X=0\right)=\frac46$$ mais aussi $$P\left(X=0\right)=1-\frac26$$
On a donc déterminé la loi de X
On reconnaît désormais un schéma de Bernoulli de paramètre p=2/6.
Donc on sait que $$E\left[X\right]=\frac26$$ $$V\left[X\right]=\frac26\times\frac46=\frac29$$ $$\vartheta\left[X\right]=\frac{\sqrt2}3$$
2) Étudions les trois cas, dans deux cas si l’on ne trouve pas la balle on perd 3 euros. Dans le dernier cas, on gagne 5 euros (8-3).
Pour savoir si un jeu est “rentable” on regarde le signe de l’espérance.
Si E[Y]>0 alors le jeu est rentable.
Si E[Y]<0 alors le jeu n’est pas rentable.
Si E[Y]=0 alors le jeu est dit équitable.
On a $$E\left[Y\right]=\sum_{i=0}^3x_i\;P(Y=x_i)$$
donc, $$E\left[Y\right]=\frac13\times-3+\frac13\times-3+\frac13\times5$$
$$E\left[Y\right]=\frac{-1}3$$
On remarque que l’espérance est négative donc le jeu n’est pas rentable.
3) On note E l’évènement “l’entreprise lui répond”.
Dans notre cas on réalise 20 expériences aléatoires indépendantes et identiques qui décrivent un schéma de Bernoulli.
Donc, la variable aléatoire E suit un loi binomiale.
On cherche à déterminer $$P(E\geq1)$$ c’est-à-dire $$1-P(E<1)$$ Or avoir strictement une réponse revient à ne pas avoir de réponse donc, $$1-P(E=0)$$
Comme E suit une loi binomiale, on a: $$P(E=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times p^k\times\left(1-p\right)^{n-k}$$
$$P(E=0)=\begin{pmatrix}20\\0\end{pmatrix}\times0.1^0\times\left(1-0.1\right)^{20-0}$$
$$P(E=0)=1\times1\times\left(0.9\right)^{20}$$
$$P(E=0)\simeq0.12$$
Donc, $$P(E\geq1)\simeq1-0.12\simeq0.88$$
