Les limites sont déjà abordées avec les suites, en regardant vers quoi tend la suite en fonction des termes. On peut généraliser cette notion de limite à toutes les fonctions. Venez découvrir ce nouvel outil ainsi que ses propriétés.
Limites finie
On dit que f a pour limite L lorsque x tend vers +∞,
si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f(x) pour x suffisament grand.
On note: $$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$$
On dit que la droite d’équation y=L est une asymptote horizontale à la courbe en +∞.
Limites infinnie
On dit que f a pour limite +∞ en α lorsque tout intervalle ] β ; +∞ [, β∈ℝ , contient toutes les valeurs f(x) pour x assez proche de α.
On note: $$\lim_{x\rightarrow\alpha}f(x)=+\infty$$
On dit que la droite d’équation x=α est asymptote verticale à la courbe Cf
Limites à gauche
La limite à gauche d’une fonction en 𝑥 = 𝑎 est la valeur vers laquelle 𝑓( 𝑥 ) tend quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté gauche ( 𝑥 < 𝑎 ).
On note: $$\lim_{x\rightarrow\alpha^-}f(x)$$
Limites à droite
la limite à droite d’une fonction en 𝑥 = 𝑎 est la valeur vers laquelle 𝑓 ( 𝑥 ) tend quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté droit ( 𝑥 > 𝑎 )
On note $$\lim_{x\rightarrow\alpha^+}f(x)$$
Limites d’opérations de fonctions
Limites de proportionalité
Voici un tableau de limite pour des fonctions proportionnelles à une fonction dont on connaît la limite.
Limites de sommes
Voici un tableau de limite pour des sommes de fonctions dont on connaît les limites.
Limites de quotients
Voici deux tableaux de limites pour des quotients de fonctions dont on connaît les limites.
Le premier tableau est pour les cas où la limite de g n’est pas 0
Le second tableau est pour les cas où la limite de g est 0
Limites de produits
Voici un tableau de limite pour des produits de fonctions dont on connaît les limites.
Limites de compositions
Si on a $$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$$ et $$\lim_{X\rightarrow b}g(X)=c$$
Alors,
$$\lim_{x\rightarrow a}g(\;f(x)\;)=c$$
Comparaisons
Soient f(x) et g(x) deux fonctions.
Si on a $$f(x)\geq g(x)$$ et que $$\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=+\infty$$
Alors,
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$$
Si on a $$f(x)\leq g(x)$$ et que $$\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty$$
Alors,
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty$$
théorème des gendarmes
Si on a $$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$$ et que $$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\;=\lim_{x\rightarrow+\infty}h(x)\;=\;L$$
Alors,
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=\;L$$
Croissances comparées
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$$
$$\lim_{x\rightarrow-\infty}e^xx^n=0$$
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}\;=\;0$$
$$\lim_{x\rightarrow0}\ln(x)\times x^n\;=\;0$$
“Les fonctions exponentielles l’emportent sur les fonctions puissances qui l’emportent sur les fonctions logarithmes népériens”
Exercices
1) Calculer la limite quand x tend vers 4 de f(x). $$f(x)=x^3-x+5$$
2) Calculer la limite quand x tend vers +∞ de g(x). $$g(x)=\frac{x^3-x+3}{x^2-2}$$
3) Calculer la limite quand x tend vers 2 de h(x). $$h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$$
4) Calculer la limite quand x tend vers +∞ de v(x). $$v(x)=\frac{\cos\left(2x\right)}x$$
5) Calculer la limite quand x tend vers +∞ de u(x). $$u(x)=\frac{3x^3+2x-5}{4x^3-x+1}$$
Corrections
Quand il n’y a pas de problème, pour déterminer une limite il suffit de “remplacer” x dans l’expression par la valeur de la limite.
Cependant, il y a souvent des problèmes.
1) Quand x tend vers 4 alors f(x) tend vers $$4^3-4+5=65$$
2)
– Tout d’abord on va s’intéresser seulement au numérateur.
Quand x tend vers +∞ on remarque que x3 tend vers +∞. De plus, -x tend vers -∞ quand x tend vers +∞.
On remarque donc qu’il y a un problème.
Pour régler cela, on va factoriser l’expression.
Donc, $$x^3-x+3=x\;\times\;\left(x^2-1+\frac3x\right)$$
On remarque dans cette fonction que x tend vers +∞ et que l’expression dans la parenthèse tend vers +∞ aussi. Donc, L’expression entière tend vers +∞.
– Pour le dénominateur, on remarque que l’expression tend vers +∞ quand x tend vers +∞.
On a donc une fonction où le numérateur ET le dénominateur tendent vers l’infinie, c’est un problème.
Pour cela on va simplifier l’expression de façon à obtenir une expression qui ne pose pas de problème.
$$g(x)=\frac{x^2\times\left(x-{\displaystyle\frac1x}+{\displaystyle\frac3{x^2}}\right)}{x^2\times\left(1-{\displaystyle\frac2{x^2}}\right)}$$
$$g(x)=\frac{x-{\displaystyle\frac1x}+{\displaystyle\frac3{x^2}}}{1-{\displaystyle\frac2{x^2}}}$$
Désormais, on a une expression dont le numérateur tend vers +∞ et le dénumérateur vers 1.
Donc g(x) tant vers +∞ quand x tend vers +∞
3) Pour ce troisième cas, si on remplace dans l’expression x par 2 on remarque que l’on a 0 divisé par 0. C’est aussi un problème.
Pour pallier a cela on va utiliser une identité remarquable, en effet on sait que $$\left(A+B\right)\times\left(A-B\right)=A^2-B^2$$
Donc, $$h(x)=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{x-2}$$
$$h(x)=x+2$$
Donc quand x tend vers 2, h(x) tend vers 4.
4) Pour ce cas, on va utiliser le théorème des gendarmes ( très courants pour les limites de fonctions avec des cosinus et sinus).
On veut encadrer v(x) par deux fonctions qui tendent vers la même limite.
Tout d’abord, $$-1\leq\cos(2x)\leq1$$
donc, $$\frac{-1}x\leq\frac{\cos(2x)}x\leq\frac1x$$
De plus, -1/x et 1/x tendent vers 0 quand x tend vers +∞ donc, d’après le théorème des gendarmes, on en conclut que v(x) tend vers 0 en +∞.
5) Après quelques entrainements, vous allez vite remarquer que quand vous avez un quotient de deux polynômes il faudra simplifier l’expression au maximum pour obtenir simplement une limite. Car dans notre cas on se retrouve encore avec un +∞ divisé par +∞.
Donc, $$u(x)=\frac{x^3\times\left(3+{\displaystyle\frac2{x^2}}-{\displaystyle\frac5{x^3}}\right)}{x^3\times\left(4-{\displaystyle\frac1{x^2}}+{\displaystyle\frac1{x^3}}\right)}$$
$$u(x)=\frac{3+{\displaystyle\frac2{x^2}}-{\displaystyle\frac5{x^3}}}{4-{\displaystyle\frac1{x^2}}+{\displaystyle\frac1{x^3}}}$$
Donc quand x tend vers +∞ on remarque que u(x) tend vers 3/4.
