Si vous tiriez au hasard dans un panier infiniment grand composé de toutes les fonctions que l’on peut créer. Je suis quasiment sûr que vous tomberiez sur une fonction non continue. Mais au fait, qu’est-ce qu’une fonction non continue ?
Introduction
La continuité est une propriété locale qui a lieu en des points.
Si une fonction est continue en tout ces points, alors elle est continue.
Plus précisément si une fonction est continue sur tout point d’un intervalle alors elle est continue sur cet intervalle.
On dit qu’une fonction f est continue en un point a si: $$\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=f(a)$$
Vous cherchez sûrement une fonction que vous connaissez qui n’est pas continue, en voilà une:
La fonction partie entière inférieure noté ⌊x⌋ qui a un nombre réel lui associe l’entier inférieur le plus proche.
Par exemple, ⌊7.31⌋=7 ou même ⌊-4.1⌋=-5.
Cette fonction n’est pas continue aux points, -2, -1, 0, 1, 2, 3, etc…
Pour mieux comprendre, voici son graphe:
On comprend facilement qu’une fonction non continue en un point à “un trou” sur son graphe à ce point.
Si une fonction est dérivable en a alors elle est continue en a.
Cas des fonctions usuelles
– Toutes les fonctions usuelles ( polynôme, racine, trigonométrique, exponentielle, …) sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.
– Toutes sommes, produits, quotients, différences et composées de fonctions continues sur leurs intervalles sont continues sur le plus petit intervalle des deux.
On se rend donc compte qu’il y a encore très peu de cas que l’on utilise de fonction non continue. Pourtant il y en a tellement:
Imaginons une fonction, qui a différentes expressions selon l’intervalle.
Par exemple, si x est négatif f(x)=x+1 et si x est positif f(x)= x2
Voici son graphe, on remarque facilement qu’au point 0 la fonction n’est pas continue.
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction.
Si:
– f est continue sur [ a ; b ]
– f est monotone sur { a ; b ]
– il existe k compris entre f(a) et f(b)
alors,
f(x)=k possède une unique solution comprise entre a et b.
En particulier si f(a) et f(b) sont de signes opposés alors f(x)=0 admet une unique solution entre a et b
Exercice
1) On définit la fonction f par: $$\frac{x+1}{\sqrt{x+1}}\;si\;x>-1$$ $$1\;si\;x=-1$$
Cette fonction est-elle continue en -1 ?
Correction
1) Pour vérifier cela, il faut que $$\lim_{x\rightarrow-1^+}\;f(x)\;=1$$
On ne regarde seulement la limite à droite car la fonction n’est pas définie à gauche de -1 à cause de la racine carré.
De plus, on remarque que si on regarde la limite à droite en -1 on obtiens une forme indéterminée ( 0/0 ).
On va donc simplfier l’expression quand x>-1
On a $$f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x+1}}\;si\;x>-1$$
$$f(x)=\frac{\sqrt{x+1}\times\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}\;si\;x>-1$$
$$f(x)=\sqrt{x+1}\;si\;x>-1$$
Donc, $$\lim_{x\rightarrow-1^+}f(x)=0\;$$
Or 0≠1 donc f(x) n’est pas continue en -1
