Les équations du second degré sont plus difficiles à résoudre de manière intuitive que celles du premier degré. Venez découvrir comment le faire rapidement ainsi que toutes les propriétés que celles-ci nous cachent !
Introduction
Pour la notion d’équation du second degré je commence sûrement à m’adresser à un public plus « intéressé » par les mathématiques car les équations du second degré sont relativement moins faciles que celle du premier degré.
Les équations du second degré:
– sous forme développée sont de la forme $$ax^2\;+\;bx\;+\;c\;=\;0$$
avec a différent de 0.
– sous forme canonique sont de la forme $$a\;{(x\;-\;\alpha)}^2\;+\;\beta\;=\;0$$
Une solution de ces équations s’appelle racine du trinôme.
Une racine du trinôme est donc une solution à l’équation f(x) = 0 avec f(x) = ax2 + bx + c et a,b,c des réels.
Quand vous aurez à résoudre une équation du second degré c’est-à-dire trouver toutes les solutions de l’équation, vous devrez vous ramener à la forme ci-dessus:
Car nous connaissons toutes les solutions de ces équations peu importe l’équation en question.
Tout d’abords on va poser Δ = b2 – 4ac
La première chose à faire après avoir mis votre équation sous la bonne forme, sera de calculer ce delta.
On va désormais pouvoir distinguer 3 cas.
Solution en fonction du signe de Δ.
1er cas:
si Δ > 0 les deux solutions z1, z2 sont réelles de la forme:
$$z_{1\;}=\;\frac{-\;b\;-\;\sqrt\Delta}{2a}$$
$$z_2\;=\;\frac{-\;b\;+\;\sqrt\Delta}{2a}$$
2ème cas:
si Δ = 0 il existe une unique solution double
En effet on aura:
$$z_1\;=\;z_2\;=\;\frac{-\;b\;}{2a}$$
3ème cas:
si Δ < 0 il n’existe pas de solution dans les Réels.
Cependant, plus tard vous verrez qu’il existe deux solutions z1, z2 complexes conjugués:
$$z_1\;=\;\frac{-\;b\;+\;i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$
$$z_2\;=\;\frac{-\;b\;-\;i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$
Démonstration
Partons de l’équation $$\;ax^2\;+\;bx\;+\;c\;=\;0$$
Dans cette démonstration il y a deux étapes à distinguer:
Mettre sous forme canonique l’équation
Résoudre l’équation sous forme canonique
Tout d’abords,
$$<=>\;ax^2\;+\;bx\;+\;c\;=\;0$$
$$<=>\;ax^2\;+\;bx\;\;=\;-c$$
$$<=>\;x^2\;+\;\frac bax\;=\;-\frac ca$$
$$<=>\;x^2\;+\;\frac bax\;+\;\frac{b^2}{4a^2}\;=\;-\frac ca\;+\;\frac{b^2}{4a^2}$$
$$<=>\;{(x\;+\;\frac b{2a})}^2\;=\;-\frac ca\;+\;\frac{b^2}{4a^2}$$
$${<=>\;(x+\frac b{2a})}^2\;=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\;\;$$
$$<=>x\;+\;\frac b{2a}\;=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}\;\;$$
$$<=>x\;+\;\frac b{2a}\;=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\;\;$$
$$<=>x\;=\frac{-b\;\pm\;\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\;\;$$
On remarque aisément les solutions pour Δ > 0 ou Δ = 0.
Or si Δ < 0 on essaie alors de calculer la racine carrée d’un nombre strictement négatif, qui n’a pas de solution dans les nombres réels. Cela signifie qu’il n’y a aucune solution réelle à l’équation du second degré donnée et qu’il doit donc y avoir deux racines non-réelles.
Factorisation du polynôme
Grâce aux racines on peut factoriser le polynôme.
on a $$ax^2\;+\;bx\;+\;c\;=\;a(x\;-\;z_1)(x\;-\;z_2)$$
On remarque donc que:
– si Δ > 0 on a $$ax^2\;+\;bx\;+\;c\;=\;a(x\;-\;z_1)(x\;-\;z_2)$$
– si Δ = 0 on a $$ax^2\;+\;bx\;+\;c\;=\;a{(\;x\;-\;z)}^2$$
– si Δ < 0 alors il n’existe pas de factorisation dans les Réels.
Dans les complexes on a $$ax^2\;+\;bx\;+\;c\;=\;a(x\;-\;z_1)(x\;-\;z_2)\;$$
Signe et Représentation graphique du trinôme
Dans le cas où a est positif ( a > 0 ) la courbe aura l’allure d’une parabole tournée vers le haut.
Dans le cas où a est négatif ( a < 0 ) la courbe aura l’allure d’une parabole tournée vers le bas.
– Si Δ > 0 Le trinôme est du signe de a entre moins l’infinie est la première racine et de la deuxième racine à plus l’infini. Entre les deux racines le trinôme est du signe opposée à celui de a. Le trinôme s’annule aux deux racines
– Si Δ = 0 le trinôme est du signe de a avant et après la racine et s’annule en la racine.
– Si Δ < 0 le trinôme est du signe de a.
Somme et produit de racines
Tout polynôme du second degré admettant deux racines z1 et z2 ont deux propriétés sur la somme et le produit de leurs racines:
$$z_1\;+\;z_{2\;}=\;\frac{-\;b}a$$ $$z_1\;\times\;z_2=\;\frac ca$$
Exercices
1) Étudier le signe de $$x^2\;+\;3x\;+\;4\;=\;0$$
2) Combien de fois le polynôme qui suit coupe l’axe des abscisses $$2x^2\;+\;4x\;+\;2\;$$
3) Étudier le signe de $$f(x)\;=\;3x^3\;+\;4x^2\;+\;x$$
Corrections
1) On a $$x^2\;+\;3x\;+\;4\;=\;0$$
On remarque que:
a = 1
b = 3
c = 4
on sait que $$\;\Delta\;=\;b^2\;-\;4ac$$
Donc $$\;\Delta\;=\;3^2-4\times1\times4\;=\;-7$$
Δ est strictement négatif donc il n’existe pas de solution dans les réels donc le trinôme est du signe de a.
Or a = 1 > 0 donc le trinôme est positif sur tout ℝ.
2) Chercher combien de fois le polynôme coupe l’axe des abscisses revient à chercher combien de fois l’équation f(x) = 0 est vérifiée.
on a donc $$2x^2\;+\;4x\;+\;2\;=\;0$$
on remarque que
a = 2
b = 4
c = 2
On sait que $$\;\Delta\;=\;b^2\;-\;4ac$$
Donc $$\;\Delta\;=\;4^2-4\times2\times2\;=\;0$$
Donc l’équation admet une unique racine double
Donc la polynôme coupe l’axe des abscisses une unique fois.
3) On veut le tableau de signe d’un polynôme du troisième degré c’est quelque chose que l’on ne sait pas faire. En revanche, on peut factoriser ce polynôme de sorte à se retrouver avec quelque chose que l’on peut étudier.
En factorisant par x on obtiens: $$f(x)\;=\;x\;\times\;(\;3x^2\;+\;4x\;+\;1\;)$$
On s’occupe du polynôme du second degré que l’on nomme g(x)
On a donc
a = 3
b = 4
c = 1
on sait que $$\;\Delta\;=\;b^2\;-\;4ac$$
Donc $$\;\Delta\;=\;4^2-4\times3\times1\;=\;4$$
Le delta est strictement positif donc il existe deux racines réels.
On a $$z_1\;=\;\frac{-\;b\;-\;\sqrt{\;\Delta}}{2a}\;$$
$$\;\;z_2\;=\;\frac{-\;b\;+\sqrt\Delta}{2a}$$
Donc $$z_1\;=\;\frac{-\;4\;-\;\sqrt{\;4}}{2\times3}\;$$
$$\;\;z_2\;=\;\frac{-\;4\;+\sqrt4}{2\times3}$$
Soit $$z_1\;=\;-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;z_2\;=\;-\frac13$$
a = 3 donc a est positif donc :
De plus,
Nous savons que :
– Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.
– Le produit de deux nombres de signe opposée est un nombre négatif.
Donc, par produit, on a finalement:
