Connaître l’aire sous la courbe d’une fonction quelconque peut paraître très difficile du premier abord, cependant il suffit de maîtriser l’intégration !
Introduction à l’ntégration
Soit f une fonction continue et positive, l’intégrale entre a et b et un nombre réel qui correspond à l’aire sous la courbe entre a et b.
On note: $$\int_a^bf(x)\operatorname dx$$
Et on lit, “Intégrale de f entre a et b”
Pour mieux comprendre l’intégration, il faut définir les primitives.
Primitives
On dit que F est une primitive de f si et seulement si F’=f ( La dérivée de la primitive d’une fonction est cette fonction ).
Il existe une infinité de primitives à une même fonction qui diffère toutes d’une constante.
Par exemple la primitive de 5 peut être 5x ou bien 5x+3.
Eh oui, car la dérivée de 5x est bel et bien 5 mais celle aussi de 5x+3.
Attention, toutes les fonctions n’admettent pas de primitive. Cependant, la majorité des cas que l’on traitera en admettons car une fonction continue sur son intervalle de définition admet une primitive.
Si F et G sont les primitives des fonctions f et g, alors la fonction F+G est la primitive de la fonction f+g
Si F est la primitive de la fonction f alors λF et la primitive de la fonction λf
Voici un tableau résumant toutes les primitives possibles en fonction de certains types de fonctions:
Plus généralement, soit u une fonction continue sur son intervalle de définition:
Lien avec l’intégration
Maintenant que nous savons ce qu’est une primitive de fonction on peut introduire le lien avec l’intégration, car on a: $$\int_a^bf(x)\operatorname dx=F(b)-F(a)$$
Souvent, vous verrez la notation suivante: $$\int_a^bf(x)\operatorname dx=\left[F(x)\right]_a^b$$ car on a $$\left[F(x)\right]_{a\;}^b=\;F(b)-F(a)$$
On définit aussi:
– La fonction $$F_a=\int_a^xf\left(x\right)\operatorname dx\;\;tq\;\;F(a)=0$$
– La valeur moyenne de f entre a et b est, $$k=\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\operatorname dx$$
Ce qui est important de retenir c’est que l’intégrale de f entre a et b est égale à la primitive de f évalué en b moins la primitive de f évalué en a
On sait désormais calculer l’aire sous la courbe d’une fonction positive sur un intervalle donné.
Propriétés de l’intégration
Relation de Chasles: $$\int_a^cf(x)\operatorname dx=\int_a^bf(x)\operatorname dx\;+\;\int_b^cf(x)\operatorname dx$$
Positivité de l’intégrale:
$$f(x)\geq0\;sur\;\left[a;b\right]\;\Rightarrow\;\int_a^bf(x)\operatorname dx\geq0$$
Croissance de l’intégrale: $$f\leq g\;\Rightarrow\;\int_a^bf(x)\operatorname dx\;\leq\;\int_a^bg(x)\operatorname dx$$
Linéarité de l’intégrale: $$\int_a^b(f+\lambda g)=\int_a^bf+\;\lambda\int_a^bg$$
En vous entrainant vous allez vite remarquer que l’on peut vite être bloqué pour intégrer des fonctions, il existe donc de nombreuses solutions pour se “débloquer”, dont une très puissante,
L’intégration par parties: $$\int_a^buv’=\left[uv\right]_a^b-\int_a^bu’v$$
Exercices
1) Déterminer la primitive qui s’annule en 0 de la fonction $$f(x)=3e^{3x}$$
2) Calculer $$\int_3^9g(x)\;\operatorname dx\;avec\;g(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x-5}$$
3) Calculer $$\int_1^5x\times e^x\;\operatorname dx$$
4) Calculer $$\int_0^1\cos^2(x)\;\operatorname dx$$
Corrections
Dans les calculs d’intégration, il ne sert à rien de mettre les constantes dans les calculs de primitives car elles s’annulent en faisant la différence de primitives F(b)-F(a).
1) On veut tout d’abords calculer la primitive de la fonction f(x). Grâce aux seconds tableaux on remarque que f(x) est de la forme u'(x) e(u(x)) avec u(x)=3x.
Donc les primitives sont du type F(x)=eu(x) + C.
C’est-à-dire que $$F(x)=e{}^{3x}+C\;$$
Cependant, on veut que F(0)=0.
Donc, $$e^0+C\;=\;0$$
$$C\;=-1$$
Donc la primitive de cette fonction qui s’annule en 0 est F(x)=e3x-1
2) On veut calculer l’intégrale de 3 à 9 de g(x). On veut donc tout d’abord calculer la primitive de cette fonction.
On remarque que la fonction est du type u'(x)/u(x).
Donc les primitives de g(x) sont du type $$G(x)=\ln(\;u(x)\;)+C$$
Donc, $$G(x)=\ln(\;x^2+3x-5\;)+C$$
Désormais on a $$\int_3^9g(x)\;\operatorname dx\;=\;\left[G(x)\right]_3^9$$
Donc $$\int_3^9g(x)\;\operatorname dx\;=\;G(9)-G(3)$$
$$\ln\;(\;9^2+3\times9-5\;)-\ln\;(3^2+3\times3-5)$$
$$\ln\;(\;103\;)-\ln\;(13)$$
$$\simeq2.13$$
3) On veut calculer $$\int_1^5x\times e^x\;\operatorname dx$$ Pour une fonction comme ceci vous pouvez tester de nombreuses technique cependant, une des plus efficaces est l’intégration par parties.
On pose u(x)=x donc u'(x)=1
et v'(x)=ex donc v(x)=ex
Donc on a $$\int_1^5x\times e^x\;\operatorname dx=\left[x\times e^x\right]_1^5-\int_1^51\times e^x\operatorname dx$$
$$\int_1^5x\times e^x\;\operatorname dx=\left[x\times e^x\right]_1^5-\;\left[e^x\right]_1^5$$
$$\int_1^5x\times e^x\;\operatorname dx=\left(5e^5-e^1\right)-\;\left(e^5-e^1\right)$$
$$\int_1^5x\times e^x\;\operatorname dx=4e^5$$
4) Pour les plus à l’aise je vais utiliser une méthode que je trouve assez sympa.
Pour cela il faut connaitre les formules d’Euler en particulier celle-ci: $$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2$$ ( Voir nombres complexes )
On veut donc calculer $$\int_0^1\cos^2(x)\;\operatorname dx$$
Cependant, on ne sait pas calculer la primitive d’un produit. Certains pourraient penser à une intégration par parties comme le cas précédent pour supprimer le produit.
Cependant, cela ne marchera pas, vous resterez bloqué ( testez pour comprendre ).
On va donc utiliser la méthode de la “linéarisation d’Euler” pour linéariser le cosinus et le ramener sous une forme que l’on peut intégrer.
On a donc $$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2$$
$$\cos^2(x)=\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2\right)^2$$
$$\cos^2(x)=\frac{\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^2}4$$
$$\cos^2(x)=\frac{e^{2ix}+2e^x\times e^{-x}+e^{-2ix}}4$$
$$\cos^2(x)=\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}+2e^0}4$$
$$\cos^2(x)=\frac12\times\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}2+\frac12$$
$$\cos^2(x)=\frac12\cos(2x)+\frac12$$
On a désormais linéarisé le cosinus au carré.
Donc on a, $$\int_0^1\frac{\cos(2x)}2+\frac12\;\operatorname dx$$
$$\int_0^1\frac{\cos(2x)}2\operatorname dx\;+\;\int_0^1\frac12\operatorname dx$$
$$\frac12\int_0^1\cos(2x)\;\operatorname dx\;+\;\int_0^1\frac12\operatorname dx$$
$$\frac12\times\frac12\times2\int_0^1\cos(2x)\;\operatorname dx\;+\;\int_0^1\frac12\operatorname dx$$
$$\frac14\int_0^12\cos(2x)\;\operatorname dx\;+\;\int_0^1\frac12\operatorname dx$$
Pour l’intégrale de gauche, on s’est ramené à une forme que l’on connaît qui est, u'(x)×cos( u(x) )
Donc, $$\frac14\;\left[\sin(2x)\right]_0^1\;+\;\left[\frac12x\right]_0^1$$
$$\frac14\left(\;\sin(2)-\sin(0)\;\right)\;+\frac12$$
$$\frac14\left(\;\sin(2)\;\right)\;+\frac12$$
$$\frac14\left(\;\sin(2)+2\right)$$
