Les équations sont une des bases des mathématiques qu’il faut maîtriser à la perfection. Elles peuvent poser problème à de nombreuses personnes à différents niveaux. Aujourd’hui, nous allons nous intéresser au cas le plus facile des équations polynomiales, celle du premier degré.
Vocabulaires
Tout d’abord voici quelques mots de vocabulaire qu’il est important de connaître :
Ce qui pose problème la plupart du temps c’est l’inconnue vous savez le x que vous voyez partout !
Une équation est une égalité, que la plupart du temps on veut résoudre. Pour cela il faut trouver le ou les bons nombres que l’on peut remplacer à la place de l’inconnue pour avoir la même quantité de chaque côté de l’équation. Si l’on trouve ce bon nombre alors c’est une solution de l’équation.
Résoudre une équation revient donc à trouver toutes les solutions de l’équation.
Une égalité reste vraie si l’on fait la même opération de chaque côté. C’est d’ailleurs cette propriété que l’on va utiliser pour résoudre les équations, on va réaliser une succession d’opérations de chaque côté de l’égalité afin d’isoler l’inconnue.
Équation du premier degré
Les équations du premier degré sont de la forme ( en considérant a et b deux nombres, a ≠ 0 et x l’inconnue) $$ax\;+\;b\;=\;0$$
Chaque fois que vous verrez une équation du premier degré il faudra essayer de vous retrouver avec la forme ci-dessus.
Quand on obtiens une équation de cette forme on peut tout d’abord soustraire par b
$$ax\;+\;b\;-\;b\;=\;-\;b$$
$$ax\;=\;-\;b$$
Puis on peut diviser par a:
$$\frac{ax}a\;=\;\frac{-\;b}a$$
$$x\;=\;\frac{-\;b}a$$
Toutes les équations du premier degré peuvent et doivent être ramenées à cette forme. Pour cela il suffit de réaliser l’opération qui nous le permettra.
Si l’on a une équation de la forme $$ax\;+\;b\;=\;c$$
Il faut ramener les nombres b et c du même côté en soustrayant par b on obtient ceci $$ax\;=\;c\;-\;b$$
Et ainsi en divisant par a on obtient la solution de l’équation
$$x\;=\;\frac{c\;-\;b}a$$
ATTENTION : quand on manipule l’inconnue il y a des opérations que nous ne pouvons pas réaliser, par exemple: $$5x\;+\;3\;\neq\;8x$$
Des cas particuliers
– si a = 1 on a
$$x\;+\;b\;=\;0$$
Dans ce cas on peut soustraire des deux côtés de l’égalité par b on obtiens donc:
$$x\;+\;b\;-\;b\;=\;-\;b$$
$$x\;=\;-\;b$$
– si b = 0 on a
$$ax\;=\;0$$
Dans ce cas-là on peut diviser des deux côtés de l’égalité par a on a donc:
$$\frac{ax}a\;=\;\frac0a$$
Donc $$x\;=\;0$$
Mais on a également la propriété suivante : ‘’Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul‘’ ce qui nous permet d’obtenir le même résultat.
Exemples
Toutes les équations ne sont pas d’une forme facile à visualiser et à résoudre.
Voici deux exemples de résolution d’équations.
Exemple 1: $$ x\;+\;3\;+\;4x\;=\;3x\;-\;4\;-\;1$$
Tout d’abord on simplifie l’équation sans réaliser d’opération:
$$5x\;+\;3\;=\;3x\;-\;5$$
Ensuite il faut rassembler les x d’un côté et les nombres connus de l’autre.
On peut donc soustraire par 3 des deux côtés, on a donc:
$$5x\;=\;3x\;-\;8$$
Ensuite, on peut soustraire des deux côtés par 3*x
On a donc:
$$2x\;=\;-8$$
On reconnaît désormais la forme numéro 1 on peut donc diviser par 2 de chaque côté, et on obtiens:
$$x\;=\;-4$$
Exemple 2: $$\frac3x-\;4\;=\;6$$
Tout d’abord on peut multiplier par x pour retrouver une forme assez simple:
$$3\;-\;4x\;=\;6x $$
On peut désormais ajouter 4x on aura donc
$$3=\;10x$$
En divisant par 10 on remarque que
$$x\;=\;\frac3{10}$$
Astuces à connaître
– N’importe quelles équations du premier degré à une unique solution.
– Pour vérifier si votre solution est correcte, il vous suffit de remplacer l’inconnue dans l’équation de départ par la solution. Si les deux cotés de l’équation sont égaux alors votre solution est correcte. Dans le cas contraire elle est fausse.
Exercices
Maintenant voici quelques exercices pour vous entraîner :
1 • $$11x\;+\;1\;=\;x\;-\;4 $$
2 • $$6x\;+\;5\;=\;5 $$
3 • $$\frac5x+2=3$$
4 • $$2x\;-\;2\;=\;0 $$
5 • $$70x-13x-40=-10+10x+7$$
Corrections
1.$$11x\;+\;1\;=\;x\;-\;4 $$
$$11x\;=\;x\;-\;5$$
$$10x\;=\;-\;5$$
$$x\;=\;-\;\frac5{10}$$
$$x\;=\;-\frac12$$
2.$$6x\;+\;5\;=\;5 $$
$$6x=\;0$$
$$x=\;0$$
$$x\;=\;0$$
3.$$\frac5x+2=3$$
$$5+2x=3x$$
$$x\;=\;5$$
4.$$2x\;-\;2\;=\;0$$
$$2x\;=\;2$$
$$x\;=\;\frac22$$
$$x\;=\;1$$
5.$$70x-13x-40=-10+10x+7$$
$$57x-40=-3+10x$$
$$47x-40=-3$$
$$47x=37$$
$$x=\frac{37}{47}$$
