Imaginez deux fonction affines croissantes, il y en a sûrement une qui croît plus vite que l’autre. Vous me diriez peut-être que c’est dû à la différence de leurs coefficients directeurs. Moi je dirais plutôt que c’est dû à la différence de leurs dérivées. En fait, c’est du pareil au même !!
Notions de dérivation
Pour définir la dérivée on va tout d’abord définir le nombre ra(h) qui est le taux de variation de f entre a+h et a.
$$r_a(h)\;=\;\frac{f(a\:+\;h)\;-\;f(a)}h$$ . On dit que f est dérivable en a si le taux de variation de f tend vers un nombre réel quand h tend vers 0. La dérivée est donc définie par $$f'(a)\;=\;\lim_{h\;\rightarrow\;0}\;\frac{f(a\:+\;h)\;-\;f(a)}h$$
On note la dérivée avec une apostrophe. La dérivée de f(x) = u est f'(x) = u’.
Illustrons cette formule avec un exemple simple.
Prenons la fonction définie par f(x) = x2
Regardons si f est dérivable en a = 1
On a $$f'(1)=\;\lim_{h\rightarrow0}\;\frac{f(1\;+\;h)\;-\;f(1)}h$$
$$f'(1)=\;\lim_{h\rightarrow0}\;\frac{{(1\;+\;h)}^2\;-\;1^2}h$$
$$f'(1)=\;\lim_{h\rightarrow0}\;\frac{1^2\;+\;2\times1\times h\;+\;h^2-\;1^2}h$$
$$f'(1)=\;\lim_{h\rightarrow0}\;\frac{\;2h\;+\;h^2}h$$
$$f'(1)=\;\lim_{h\rightarrow0}\;\frac{\;h\times\left(2\;+\;h\right)}h$$
$$f'(1)=\;\lim_{h\rightarrow0}\;2\;+\;h$$
$$f'(1)=\;2$$
Donc, f est dérivable en 1 et on a f'(1) = 2.
Cette définition est donc très utile, cependant, on ne va pas s’en servir pour chaque dérivée sinon ça serait trop long ou compliqué de calculer des dérivées moins faciles.
On va donc apprendre des dérivées usuelles ainsi que des opérations de dérivation. Puis en les combinant, on va réussir à calculer des dérivées plus difficiles.
Pour comprendre la dérivée, il nous reste quelques informations à savoir.
Soit Cf la courbe représentative de la fonction f. Si f est dérivable au point a, alors la dérivée f'(a) de la fonction f est le coefficient directeur de la tangente de Cf en a
Une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse a est $$y\;=\;f'(a)\times(x\;-\;a)\;+\;f(a)$$
Fonctions dérivées
Grâce à cette formule, on peut aussi définir des “fonctions dérivées” notée f’. Par exemple, la dérivée de f(x) = x2 est f'(x) = 2x pour tout x appartenant à ℝ.
Dans le cas où une fonction est dérivable en tout point sur un intervalle, on dit que la fonction est dérivable sur l’intervalle et on note la fonction dérivée f’.
Voici donc des dérivées de base à connaître ainsi que leurs domaines de dérivabilité. Bien entendu selon votre niveau il n’est pas nécessaire de les connaitre toutes, cependant si vous voulez les apprendre, c’est juste de l’avance que vous prendrez, car en étude supérieure, elles seront toutes nécessaires.
Dérivées usuelles
$$f(x)\;=\;k\;\Rightarrow\;f'(x)=0$$ Dérivable sur ℝ
$$f(x)\;=\;x\;\Rightarrow f'(x)=1$$ Dérivable sur ℝ
$$f(x)\;=\;x^2\;\Rightarrow f'(x)=2x$$ Dérivable sur ℝ
$$f(x)\;=\;x^3\;\Rightarrow f'(x)=3x^2$$ Dérivable sur ℝ
$$f(x)\;=\;\frac1x\;\Rightarrow f'(x)=\frac{-1}{x^2}$$ Dérivable sur ℝ*
$$f(x)\;=\sqrt x\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{2\sqrt x}$$ Dérivable sur ]0;+∞[
$$f(x)\;=\ln(x)\;\Rightarrow f'(x)=\frac1x$$ Dérivable sur ]0;+∞[
$$f(x)\;=e^x\;\Rightarrow f'(x)=e^x$$ Dérivable sur ℝ
$$f(x)\;=\cos(x)\;\Rightarrow f'(x)=-\sin(x)$$ Dérivable sur ℝ
$$f(x)\;=\sin(x)\;\Rightarrow f'(x)=\cos(x)$$ Dérivable sur ℝ
$$f(x)=\tan(x)\Rightarrow f'(x)=\frac1{{({\cos(x)})}^2}$$
$$f(x)=\tan(x)\Rightarrow f'(x)=1+\left(\tan(x)\right)^2$$ Dérivable sur ]-π/2+kπ ; π/2+kπ[
$$f(x)\;=arc\cos\;\Rightarrow f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$$ Dérivable sur ]-1;1[
$$f(x)\;=arc\sin\Rightarrow f'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$$ Dérivable sur ]-1;1[
$$f(x)\;=arc\tan\Rightarrow f'(x)=\frac1{1+x^2}$$Dérivable sur ℝ
On peut généraliser les dérivées des fonctions x à une puissance quelconque. On a $$f(x)\;=\;x^n\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;f'(x)\;=\;n\times x^{n-1}$$ Par exemple, si on a $$f(x)\;=\;x^8\;\;\;alors\;\;f'(x)\;=\;8\times x^7$$
Opérations de dérivée
Soient u et v deux fonctions dérivables sur I, et k un réel.
$$f(x)\;=u+v\Rightarrow f'(x)=u’+v’$$
$$f(x)\;=k\times u\Rightarrow f'(x)=k\times u’$$
$$f(x)\;=u\times v\Rightarrow f'(x)=u’\times v+u\times v’$$
$$f(x)\;=\frac uv\Rightarrow f'(x)=\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$$
$$f(x)\;=u\circ v\Rightarrow f'(x)=v’\times\left(u’\circ v\right)$$
Dérivée de fonctions
On peut généraliser les dérivées usuelles avec à la place de “x” une fonction u. Le domaine de dérivabilité va donc dépendre de cette dernière.
$$f(x)\;=u^n\rightarrow f'(x)=n\times u’\times{u^{n-1}}$$
$$f(x)\;=\frac1u\rightarrow f'(x)=\frac{-u’}{u^2}$$
$$f(x)\;=\sqrt u\rightarrow f'(x)=\frac{u’}{2\sqrt u}$$
$$f(x)\;=\ln(u)\rightarrow f'(x)=\frac{u’}u$$
$$f(x)\;=\;e^u\rightarrow f'(x)=u’\times e^u$$
$$f(x)\;=\;\cos(u)\rightarrow f'(x)=u’\times-\sin(u)$$
$$f(x)\;=\;\sin(u)\rightarrow f'(x)=u’\times\cos(u)$$
Quelques conseils
– Avoir une rédaction soignée est toujours important, mais particulièrement ici. Pour des petites dérivées, cela permettra d’éviter un maximum de fautes d’inattention. Cependant, là où c’est le plus utile, c’est quand il y a des enchaînements de processus à réaliser pour la même dérivée. ( voir correction exercice 5 )
– Simplifier au maximum l’expression de la dérivée calculée ( ne jamais développer le dénominateur dans un quotient ).
– Avant de calculer une dérivée, il faut toujours se demander quel type d’opération est la fonction que l’on veut dériver.
( la fonction f est de la forme ___ donc f’ sera dans la forme ___ )
– Connaitre les formules par cœur et savoir les réciter aussi bien que les tables de multiplication.
– Quand vous avez à faire plusieurs étapes, ne donnez pas le même nom à des fonctions différentes. ( voir question 5 )
Exercices
1) Calculer la dérivée de $$f(x)\;=\;3x\;+\;5$$
2) Calculer la dérivée de $$f(x)\;=\;5x^2\;+\;4x\;+\;\sqrt x$$
3) Calculer la dérivée de $$f(x)\;=-\frac1{3x\;+\;2}$$
4) Calculer la dérivée de $$f(x)\;=(\;4x^3\;+\;3x\;)\times\sqrt x$$
5) Calculer la dérivée de $$f(x)\;=\;\frac{e^{5x}\;\times\;5x}{4x^2}$$
Corrections
1) On veut calculer la dérivée de la fonction $$f(x)\;=\;3x\;+\;5$$
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées $$(u + v)’ = u’ + v’$$ On peut donc s’occuper des deux indépendamment.
Soit u = 3x et v = 5
Tout d’abord, la dérivée de v = 5 est 0 car c’est une constante, donc v’ = 0
De plus, la dérivée du produit d’une constante avec une fonction est la dérivée de la fonction par la constante $$(ku)’\;=\;k\times u’$$
donc, $$(3x)\;=\;3\times x’\;=\;3\times1\;=\;3$$
Pour finir on obtient, $$f'(x)\;=\;3\;$$
2) On veut calculer la dérivée de la fonction $$f(x)\;=\;5x^2\;+\;4x\;+\;\sqrt x$$
De même que la question précédente on peut s’occuper de chaque cas séparément car c’est une somme:
$$f'(x)\;=(\;5x^2\;+\;4x\;+\;\sqrt x\;)’$$
$$f'(x)\;=(\;5x^2)’\;+\;(4x)’+\;\sqrt x\;’$$
On a, $$(5x^2)’\;=\;5\times(x^2)’$$
Donc, $$(5x^2)’\;=\;5\times2x$$ $$(5x^2)’\;=\;10x$$
De plus, $$(4x)’\;=\;4\times x’$$
Donc, $$(4x)’\;=\;4\times1$$
$$(4x)’\;=\;4$$
Ensuite, $$(\sqrt x\;)’\;=\;\frac1{2\sqrt x}$$
Donc, pour finir $$f'(x)\;=10x\;+\;4+\;\frac1{2\sqrt x}$$
3) On veut calculer la dérivée de la fonction $$f(x)\;=-\frac1{3x\;+\;2}$$
Pour cette question, la méthode change car on ne s’occupe plus d’une addition mais d’une division. On peut donc utiliser 2 formules que l’on a vues au-dessus.
$$(\frac uv)’=\;\frac{u’v\;-\;uv’}{v^2}$$ ou alors
$$\left(\frac1u\right)^’=\;-\frac{u’}{u^2}$$
Pour cet exemple on va utiliser la seconde formule pour simplifier un peu les calculs.
On a $$(-\frac1{3x\;+\;2})’\;=\;-\;(\frac1{3x\;+\;2})’$$ On identifie u dans la formule $$-\frac{u’}{u^2}$$ on en déduit que
$$u(x)\;=\;3x\;+\;2$$ alors $$u'(x)\;=\;3$$
On en conclut donc que
$$f'(x)\;=\;-\;\;\left(\frac{-\;3}{\left(3x\;+\;2\right)^2}\right)$$
$$<=>\;f'(x)\;=\;\frac{\;3}{\left(3x\;+\;2\right)^2}$$
4) On veut calculer la dérivée de la fonction $$f(x)\;=(\;4x^3\;+\;3x\;)\times\sqrt x$$
Pour cette fonction on veut calculer la dérivée d’un produit, on va donc utiliser la formule de la dérivation d’un produit, $$(u\times v)’\;=\;u’\times v\;+\;u\times v’$$
Identifions u et v: $$u(x)\;=\;4x^3\;+\;3x\;\;et\;\;v(x)\;=\sqrt x$$
$$u'(x)=4\times3x^2+3\times1\;\;et\;\;v'(x)=\frac1{2\sqrt x}$$
$$u'(x)\;=\;12x^2\;+\;3\;et\;\;v'(x)\;=\frac1{2\sqrt x}$$
En remplaçant dans la formule on obtient: $$(12x^2+3)\times(\sqrt x)+(4x^3+3x)\times\left(\frac1{2\sqrt x}\right)$$
$$(12x^2\sqrt x+3\sqrt x)+\;\frac{(4x^2\sqrt x+3\sqrt x)}2$$
$$12x^2\sqrt x+3\sqrt x+\;2x^2\sqrt x+1.5\sqrt x$$
$$14x^2\sqrt x+4.5\sqrt x$$
$$\left(14x^2+4.5\right)\times\sqrt x$$
5) On veut calculer la dérivée de la fonction $$f(x)\;=\;\frac{e^{5x}\;\times\;5x}{4x^2}$$
Pour ce cas il va falloir être structuré car il y aura de nombreuses étapes car la fonction et un quotient avec au numérateur un produit.
Tout d’abord la fonction est de la forme $$\frac{u(x)}{v(x)}$$
Donc $$f'(x)\;=\;\frac{u’\times v\;-\;u\times v’}{v^2}$$
Identifions u et v.
On remarque que $$u(x)\;=\;e^{5x}\;\times\;5x$$
$$v(x)\;=\;4x^2$$
Il faut désormais que l’on calcule u’ et v’.
Calcul de u'(x):
u(x) est de la forme $$h(x)\;\times\;g(x)$$ donc
$$u'(x)\;=\;h'(x)\times g(x)\;+\;h(x)\times g'(x)$$ avec
$$h(x)\;=\;e^{5x}$$
$$g(x)\;=\;5x$$
Donc $$h'(x)\;=\;5e^{5x}$$
$$g'(x)\;=\;5$$
Donc $$u'(x)\;=\;\left(5e^{5x}\;\times\;5x\right)\;+\;\left(e^{5x}\;\times\;5\right)$$
$$u'(x)\;=\;5e^{5x}\;\times\left(5x+1\right)$$
Calcul de v'(x):
On remarque aisément que $$v'(x)\;=\;8x$$
Pour résumer, on a maintenant $$u(x)\;=\;e^{5x}\;\times\;5x$$
$$u'(x)\;=\;5e^{5x}\;\times\left(5x+1\right)$$
$$v(x)\;=\;4x^2$$
$$v'(x)\;=\;8x$$
De plus, on a vu que: $$f'(x)\;=\;\frac{u'(x)\times v(x)\;-\;u(x)\times v'(x)}{v^2(x)}$$
Donc $$f'(x)\;=\;\frac{5e^{5x}\left(5x+1\right)\times4x^2-5xe^{5x}\times8x}{\left(4x^2\right)^2}$$
$$f'(x)=\frac{4x^2\times\left(5e^{5x}\left(5x+1\right)-10e^{5x}\right)}{\left(4x^2\right)^2}$$
$$f'(x)=\frac{5e^{5x}\left(5x+1\right)-10e^{5x}}{4x^2}$$
$$f'(x)=\frac{25xe^{5x}+5e^{5x}-10e^{5x}}{4x^2}$$
$$f'(x)=\frac{25xe^{5x}-5e^{5x}}{4x^2}$$
$$f'(x)=\frac{5e^{5x}\times\left(5x-1\right)}{4x^2}$$
