Inventée d’abord pour faciliter les calculs astronomiques, la fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle, voici ses caractéristiques !!
Notation
On note la fonction logarithme népérien ln(x).
Caractéristiques
La fonction logarithme népérien est continue sur ]0 ; +∞[
La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞[
La fonction logarithme népérien est négative sur ]0 ; 1] puis positive sur [1 ; +∞[
La fonction logarithme népérien est croissante sur ]0 ; +∞[
( Pour tout x et y réels ln(x) > ln(y) si et seulement si x > y)
Graphe
Propriétés
$$\ln(1)=0$$
$$\ln\left(a\times b\right)\;=\;\ln(a)\;+\;\ln(b)$$
$$\ln\left(\frac ab\right)\;=\;\ln(a)\;-\;\ln(b)$$
$$\ln\left(\frac1a\right)\;=\;-\;\ln(a)$$
$$\forall x\;\;\ln(e^x)=x$$
$$\forall x>0\;e^{\ln(x)}=x$$
Dérivation et Intégration
$$f(x)\;=\;\ln(x)\;\Rightarrow\;f'(x)\;=\;\frac1x$$
$$f(x)\;=\;\ln(ax\;+\;b)\;\Rightarrow\;f'(x)=\frac a{ax+b}$$
$$f(x)\;=\;\ln(\;u(x)\;)\;\Rightarrow\;f'(x)\;=\;\frac{u'(x)}{u(x)}$$
$$f(x)\;=\;\ln(x)\;\Rightarrow\;F(x)\;=\;x\times\ln(x)-x+C$$
Limites et croissances comparées
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(x)\;=\;+\infty$$
$$\lim_{x\rightarrow0^+}\ln(x)\;=\;-\infty$$
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}\;=\;0$$
$$\lim_{x\rightarrow0}\ln(x)\times x^n\;=\;0$$
“Les fonctions puissances l’emportent sur la fonction logarithme népérien”
Tableau de signe et variation
Exercices
1) Résoudre l’inéquation suivante, $$\ln(x)\;>\;2$$
2) Calculer la dérivée de la fonction suivante : $$\frac{\ln\left(x\right)}x$$
3) Déterminer l’ensemble de définition et de dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction suivante. $$f(x)=\ln\left(x^2+x+1\right)$$
Corrections
1) Pour résoudre cette inéquation, on va simplement utiliser la propriété suivante : $$\forall x>0\;e^{\ln(x)}=x$$
Pour cela, on va appliquer la fonction exponentielle de chaque côté de l’équation, cette fonction étant croissante le sens de l’inégalité n’est pas modifiée.
On a donc, $$e^{\ln(x)\;}>e^2$$ c’est à dire, $$x>e^2$$
2) La fonction est du type $$\frac uv$$ avec $$u(x)\;=\;\ln(x)$$ $$v(x)\;=x$$
Donc, $$u'(x)\;=\frac1x$$ $$v'(x)\;=1$$
On a $$f’=\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$$
Soit, $$f'(x)=\frac{{\displaystyle\frac1x}\times x-\ln(x)\times1}{x^2}$$
$$f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}$$
3) On sait que la fonction logarithme népérien est définie et dérivable sur l’ensemble des réels strictement positif.
la fonction f(x) est donc définie et dérivable quand le polynôme x2+x+1 est strictement positif.
Il faut donc déterminer le signe du polynôme suivant x2+x+1.
Pour cela, étudions le polynôme:
$$\bigtriangleup=b^2-4ac$$ $$\bigtriangleup=1^2-4\times1\times1=-3$$
delta est strictement négatif, donc il n’existe pas de solutions réelles, donc la polynôme est du signe de a.
Or a=1>0 donc le polynôme est strictement positif pour tout x appartenant à ℝ.
La fonction f(x) est donc définie et dérivable pour tout x appartenant à ℝ.
Pour calculer la dérivée de cette fonction, on va utiliser la propriété suivante : $$\left(\ln(u)\right)’=\frac{u’}{u}$$
Donc $$f'(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$$
