La fonction racine carré est une fonction que l’on enseigne tôt dans l’apprentissage des mathématiques, mais l’on comprend tard qu’il s’agit en fait d’une fonction puissance.
Notation
La racine carrée d’un nombre réel x est l’unique nombre réel positif qui multiplié par lui même donne x.
On note: $$\sqrt x$$
Graphe
Voici le graphe de la fonction racine carrée.
Propriétés
La fonction racine carrée est une fonction définie sur ℝ+ à valeurs dans ℝ+.
Toutes les propriétés suivantes sont vraies pour tout x positifs.
La fonction racine carrée est une fonction croissante. $$a<b\;\Leftrightarrow\sqrt a<\sqrt b$$
$$\sqrt x\times\sqrt x=x$$
$$\left(\sqrt x\right)=x^\frac12$$
$$\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{a\times b}$$
$$\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$$
$$\sqrt{k^2\times a}=k\times\sqrt a$$
Et pour tout x dans ℝ, on a
$$\sqrt{x^2}=\left|x\right|$$
Attention, on a $$\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b$$
Par exemple, $$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$
Alors que $$\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7$$
Dérivation
$$f(x)=\sqrt x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=\frac1{2\sqrt x}$$
$$f(x)=\sqrt{Ax+B}\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=\frac A{2\sqrt{Ax+B}}$$
Plus généralement, pour toutes fonctions u(x) dérivables:
$$f(x)=\sqrt{u(x)}\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$$
Primitives
Cette primitive n’est pas à connaître, cependant pour les plus intéressées je la mets quand même !
$$f(x)=\sqrt x\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=\frac23x^\frac32+C$$
Tableau de signe
Voici le tableau de signe de la fonction racine carrée.
Tableau de Variations
Voici le tableau de variation de la fonction racine carrée.
Exercices
1) Donner le sens de variation de la fonction suivante définie sur ℝ+: $$f(x)=\frac{\sqrt x}x$$
2) Simplifier l’expression suivante sur son ensemble de définition: $$g(x)=\frac{\left(\sqrt x\times\sqrt x\right)^2}x$$
3) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction suivante: $$h(x)=\sqrt{x^2-2x-3}$$
Corrections
1) On sait que $$x=\sqrt x\times\sqrt x$$
Donc $$f(x)=\frac{\sqrt x\times1}{\sqrt x\times\sqrt x}$$
$$f(x)=\frac1{\sqrt x}$$
Or on sait que la fonction racine carré est une fonction croissante sur ℝ+, donc l’inverse de la fonction racine carré est décroissante sur ℝ*+ ( On exclus le 0 car √0=0 et on ne peut pas diviser par 0). Donc f(x) est décroissante.
2) La fonction racine carrée étant définie sur ℝ+ la fonction g(x) est définie sur ] 0 ; +∞ [.
Sur cet intervalle on sait que $$g(x)=\frac{\left(\sqrt x\times\sqrt x\right)^2}x$$
Donc $$g(x)=\frac{x^2}x$$
$$g(x)=\frac{x\times x}{x\times1}$$
$$g(x)=\frac x1=x$$
3) On sait que la fonction √x est définie pour tout x positif. Cependant, si on pose X=x2-2x-3. Alors la fonction √X est définie pour tous X positifs. C’est-à-dire quand x2-2x-3 est supérieur à 0. Trouver l’ensemble de définition de $$h(x)=\sqrt{x^2-2x-3}$$ revient à déterminer l’inéquation suivante.
$$x^2-2x-3\geq0$$
Pour cela, on peut soit tracer le graphe grâce à un logiciel comme géogébra.
Ou alors, pour les personnes qui maîtrisent les pôlynomes du second degré, on va déterminer les racines du polynôme x2-2x-3
On a $$\triangle=b^2-4ac$$
$$\triangle=\left(-2\right)^2-4\times1\times\left(-3\right)$$
$$\triangle=4+12=16$$
Donc, la fonction du second degré a deux solutions z1 et z2.
$$z_1=\frac{-b-\sqrt\triangle}{2a}$$
$$z_1=\frac{2-4}2=-1$$
$$z_2=\frac{-b+\sqrt\triangle}{2a}$$
$$z_2=\frac{2+4}2=3$$
De plus, le signe du polynôme est du signe de a avant z1 et après z2 puis du signe opposé de a entre les deux racines.
a est du signe positif car a=1 donc, le polynôme est supérieur à 0 pour x<-1 ⋃ x>3.
Finalement, la fonction h(x) est définie sur l’intervalle ]-∞ ; -1] ⋃ ]3 ; +∞[.
