Utilisées dans toutes les différentes branches des mathématiques, les fonctions sont un outil essentiel. En voici une introduction !
Introduction
Une fonction f est un processus qui a un nombre x associe un nombre que l’on note f(x).
Par exemple: $$x\mapsto4x+5$$
Une fonction n’est pas nécessairement définie par une formule.
On appelle ensemble de départ ou de définition l’ensemble de tous les nombres que l’on peut prendre pour leur associer un nombre.
Par exemple, Pour la fonction inverse: $$x\mapsto\frac1x$$ l’ensemble de défintion est ℝ* ( Tous les nombres sauf 0 ).
On appelle ensemble d’arrivée l’ensemble des images.
On appelle courbe représentative f notée Cf l’ensemble de tous les points M(x,f(x)).
Avoir la courbe représentative d’une fonction peut aider à:
– Résoudre une équation f(x)=k ( Trouver pour quels x on a f(x)=k)
– Résoudre des inéquations du type f(x)>k ou f(x)<k (Trouver pour quels x on a f(x)>k ou f(x)<k)
– Déterminer la position relative de deux courbes (Pour quels x l’une est au-dessus/dessous de l’autre)
– Trouver le signe d’une fonction sur un intervalle (Résoudre f(x)>0)
Tableau de signe
Les informations sur le signe d’une fonction on les renseigne dans un tableau bien spécifique appelé “Tableau de signe”.
En cas général il ressemble à ceci:
Voici un exemple de tableau de signe pour mieux le comprendre avec f(x)= (x-3)(x+1)
Signes de produits de fonctions
Soient f et g deux fonctions.
Voici le tableau de signe du produit de f et g en fonction du signe de f et g.
Voici le tableau de signe du quotient de f et g en fonction du signe de f et g.
Sens de variations
Croissante
On dit qu’une fonction est croissante sur un intervalle I lorsque “plus les x sont grands et plus les images sont grandes” plus précisément
– Pour tout x1, x2 de I tel que x1<x2 alors f(x1)<f(x2)
“Quand la courbe monte la fonction est croissante”
Décroissante
On dit qu’une fonction est décroissante sur un intervalle I lorsque “plus les x sont grands et plus les images sont petites” plus précisément
– Pour tout x1, x2 de I tel que x1<x2 alors f(x1)>f(x2)
“Quand la courbe descend la fonction est décroissante”
Attention, une inégalité change de sens si on applique une fonction décroissante.
Tableau de variation
Les variations d’une fonction sont représentées sous la forme de tableau de variation.
Voici un exemple avec la fonction f(x)=x2-3 pour mieux visualiser comment les faires.
Exercices
1) D’après le graphique ci-dessous,
– déterminer l’image de 2 par f
– déterminer f(0), f(1) et f(-2)
– résoudre f(x)=2
– déterminer les antécédents de -2
– résoudre f(x)>2
– résoudre f(x)<0
2) Soit la fonction f(x) définie par f(x) = 2x2 – 8x + 3.
– Calculer les valeurs de f(-2), f(0), f(1) et f(3).
– Tracer à main levée le graphique de la fonction f(x) sur l’intervalle [0;4] (conseils: placez certains points puis tracez).
– Étudier le signe de f(x).
– Étudier les variations de f(x).
– Déterminer le minimum et le maximum de la fonction f(x) sur l’intervalle [0;4].
Corrections
1)
– D’après le graphique on remarque que quand x est égale à 2 la fonction est à une hauteur de 2 donc on a f(2)=2
– Quand x est à 0 la courbe est à 0 de hauteur donc f(0)=0.
On remarque aussi que f(1)=-2 et f(-2)=2
– Résoudre f(x)=2 revient à trouver tous les x pour lesquelles la courbe à une hauteur de 2.
On remarque que la courbe à une hauteur de 2 quand x égale 2 ou -1 donc on note l’ensemble des solutions comme ceci: S={ 2 ; -1 }.
– Déterminer les antécédents de -2 c’est trouver tous les x telle que la courbe soit de hauteur -2. On remarque donc que S={ -2 , 1 }.
– Résoudre f(x)>2 c’est trouver tous les x tels que la courbe est plus haute que 2 strictement.
On remarque que ceci ce produit quand x est strictement supérieur à 2. donc S={ ] 2 ; +∞ [ }
– Résoudre f(x)<0 c’est trouver tous les x tels que la courbe est plus basse que 0 strictement.
On remarque que ce ceci ce produit quand x est entre 0 et environ 1,75 puis quand x est inférieur à environ -1,75.
Donc S={ ] -∞ ; -1.75 [ ∪ ] 0 ; 1,75 [ }
2)
– Pour cela il suffit juste de remplacer x par les valeurs demandées on a donc:
$$f(-2)=2\times\left(-2\right)^2-8\times\left(-2\right)+3=27$$
$$f(0)=2\times\left(0\right)^2-8\times\left(0\right)+3=3$$
$$f(1)=2\times\left(1\right)^2-8\times\left(1\right)+3=-3$$
$$f(3)=2\times\left(3\right)^2-8\times\left(3\right)+3=-3$$
– Pour cela, il faut prendre plusieurs x puis trouver leurs images pour placer des points par où passera la courbe. Par exemple d’après la question précédente on sait que la courbe passe par les points (0;3), (1;-3) et (3;-3).
Avec quelques points supplémentaires, votre graphique doit ressembler à ceci:
– Étudier le signe de f(x) revient à regarder sur un graphique pour quels x la courbe est au-dessus ou en dessous de l’axe des abscisses.
On remarque que la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses avant 0,4 puis après 3,6. Donc f(x) est négative sur l’intervalle [ 0,4 ; 3,6 ] puis positive autre part.
– On remarque que la courbe “descend” pour tous les x avant 2 puis “monte” pour tous les x après 2. Donc f(x) est croissante sur [ 2 ; +∞ [ puis décroissante autre-part.
– Sur cet intervalle on voit que la courbe est au plus haut en x=0 et x=4. En ces valeurs, la courbe vaut 3. Donc le maximum de la fonction sur cet intervalle est 3.
On raisonne de même pour le minimum et on trouve qu’il vaut -5.
