Nous avons déjà pu voir ce qu’était une fonction, on concrétise cela en découvrant le premier type de fonctions que l’on étudie en général, les fonctions affines. Je vous laisse aller en découvrir leurs propriétés.
Définitions
Une fonction affine est une fonction du type: $$f(x)=ax+b$$
Ces fonctions sont définies sur ℝ et la courbe représentative de ses fonctions est une droite.
De plus, toutes droites non verticales sont la courbe représentative d’une fonction affine de la forme f(x)=ax+b.
Dans l’équation, a est le coefficient directeur et b s’appelle l’ordonnée à l’origine.
– Par le calcul on a:
$$a=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}\\b=f(0)$$
-Sur le graphique, a est la pente et b est l’intersection entre la courbe et l’axe des ordonnées
Courbes
On définit x1 comme unique solution de l’équation f(x)=0 c’est-à-dire ax+b=0
Si a>0:
la courbe « monte »
la fonction est négative puis positive
La fonction est croissante
Si a<0:
La courbe « descend »
La fonction est positive puis négative
La fonction est décroissante
Si a=0:
La courbe est « plate »
La fonction est du signe de l’ordonnée à l’origine
La fonction est constante
Etude sur le graphique
Soit f(x)=ax+b et g(x)=Ax+B
f et g sont parallèles, si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, c’est-à-dire a=A
On dit que f et g sont égaux et donc confondue sur le graphique si et seulement si a=A et b=B.
Toutes fonctions affines non parallèles ont un unique point d’intersection qui se détermine en résolvant l’équation ax+b = Ax+B.
(on essaye de déterminer x)
Le point d’intersection aura les coordonnées (x ; ax+b).
Exercices
1) Soit f(x)= 5x-6 et g(x)= -4x+3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection entre les fonctions f et g.
2) Déterminer la formule de la fonction représentée par la courbe ci-dessous.
Corrections
1) On veut déterminer le moment où les deux fonctions sont égales, c’est-à-dire pour quel x on a: $$5x-6=-4x+3$$
Déterminons x: $$5x=-4x+9$$
$$9x=9$$
$$x=1$$
Le point a donc pour coordonnée ( 1; -1)
(-1 car si on remplace x par 1 dans chacune des fonctions on obtiens -1).
2) Tous d’abord déterminons a, on sait que: $$a=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}$$
Pour déterminer a, il nous faut donc les coordonnées de deux points distincts de la droite. Cependant, nous avons les coordonnées d’un seul, celles de a qui sont (5,2).
Il faudrait pouvoir trouver les coordonnée d’un autre points sur la droite. Vous avez peut-être compris, le fait que la droite passe par l’origine du repère n’est pas un hasard. Si un point est placé sur l’origine du repère alors nécessairement, ses coordonnées sont (0;0).
Donc on a $$a=\frac{5-0}{2-0}=2.5$$
De plus, on sait que b est l’ordonnée à l’origine, on en conclut que $$b=0$$
Finalement, la formule de la droite est $$f(x)=2,5x$$
