Connaître l’aire sous la courbe d’une fonction quelconque peut paraître très difficile du premier abord, cependant il suffit de maîtriser l’intégration !
Introduction à l’ntégration
Soit f une fonction continue et positive, l’intégrale entre a et b et un nombre réel qui correspond à l’aire sous la courbe entre a et b.
On note: $$\int_a^bf(x)\operatorname dx$$
Et on lit, « Intégrale de f entre a et b »
Pour mieux comprendre l’intégration, il faut définir les primitives.
Primitives
On dit que F est une primitive de f si et seulement si F’=f ( La dérivée de la primitive d’une fonction est cette fonction ).
Il existe une infinité de primitives à une même fonction qui diffère toutes d’une constante.
Par exemple la primitive de 5 peut être 5x ou bien 5x+3.
Eh oui, car la dérivée de 5x est bel et bien 5 mais celle aussi de 5x+3.
Attention, toutes les fonctions n’admettent pas de primitive. Cependant, la majorité des cas que l’on traitera en admettons car une fonction continue sur son intervalle de définition admet une primitive.
Si F et G sont les primitives des fonctions f et g, alors la fonction F+G est la primitive de la fonction f+g
Si F est la primitive de la fonction f alors λF et la primitive de la fonction λf
Voici un tableau résumant toutes les primitives possibles en fonction de certains types de fonctions:
Plus généralement, soit u une fonction continue sur son intervalle de définition:
Lien avec l’intégration
Maintenant que nous savons ce qu’est une primitive de fonction on peut introduire le lien avec l’intégration, car on a: $$\int_a^bf(x)\operatorname dx=F(b)-F(a)$$
Souvent, vous verrez la notation suivante: $$\int_a^bf(x)\operatorname dx=\left[F(x)\right]_a^b$$ car on a $$\left[F(x)\right]_{a\;}^b=\;F(b)-F(a)$$
On définit aussi:
– La fonction $$F_a=\int_a^xf\left(x\right)\operatorname dx\;\;tq\;\;F(a)=0$$
– La valeur moyenne de f entre a et b est, $$k=\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\operatorname dx$$
Ce qui est important de retenir c’est que l’intégrale de f entre a et b est égale à la primitive de f évalué en b moins la primitive de f évalué en a
On sait désormais calculer l’aire sous la courbe d’une fonction positive sur un intervalle donné.
Propriétés de l’intégration
Relation de Chasles: $$\int_a^cf(x)\operatorname dx=\int_a^bf(x)\operatorname dx\;+\;\int_b^cf(x)\operatorname dx$$
Positivité de l’intégrale:
$$f(x)\geq0\;sur\;\left[a;b\right]\;\Rightarrow\;\int_a^bf(x)\operatorname dx\geq0$$
Croissance de l’intégrale: $$f\leq g\;\Rightarrow\;\int_a^bf(x)\operatorname dx\;\leq\;\int_a^bg(x)\operatorname dx$$
Linéarité de l’intégrale: $$\int_a^b(f+\lambda g)=\int_a^bf+\;\lambda\int_a^bg$$
En vous entrainant vous allez vite remarquer que l’on peut vite être bloqué pour intégrer des fonctions, il existe donc de nombreuses solutions pour se « débloquer », dont une très puissante,
L’intégration par parties: $$\int_a^buv’=\left[uv\right]_a^b-\int_a^bu’v$$
Exercices
1) Déterminer la primitive qui s’annule en 0 de la fonction $$f(x)=3e^{3x}$$
2) Calculer $$\int_3^9g(x)\;\operatorname dx\;avec\;g(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x-5}$$
3) Calculer $$\int_1^5x\times e^x\;\operatorname dx$$
4) Calculer $$\int_0^1\cos^2(x)\;\operatorname dx$$
Corrections
Dans les calculs d’intégration, il ne sert à rien de mettre les constantes dans les calculs de primitives car elles s’annulent en faisant la différence de primitives F(b)-F(a).
1) On veut tout d’abords calculer la primitive de la fonction f(x). Grâce aux seconds tableaux on remarque que f(x) est de la forme u'(x) e(u(x)) avec u(x)=3x.
Donc les primitives sont du type F(x)=eu(x) + C.
C’est-à-dire que $$F(x)=e{}^{3x}+C\;$$
Cependant, on veut que F(0)=0.
Donc, $$e^0+C\;=\;0$$
$$C\;=-1$$
Donc la primitive de cette fonction qui s’annule en 0 est F(x)=e3x-1
2) On veut calculer l’intégrale de 3 à 9 de g(x). On veut donc tout d’abord calculer la primitive de cette fonction.
On remarque que la fonction est du type u'(x)/u(x).
Donc les primitives de g(x) sont du type $$G(x)=\ln(\;u(x)\;)+C$$
Donc, $$G(x)=\ln(\;x^2+3x-5\;)+C$$
Désormais on a $$\int_3^9g(x)\;\operatorname dx\;=\;\left[G(x)\right]_3^9$$
Donc $$\int_3^9g(x)\;\operatorname dx\;=\;G(9)-G(3)$$
$$\ln\;(\;9^2+3\times9-5\;)-\ln\;(3^2+3\times3-5)$$
$$\ln\;(\;103\;)-\ln\;(13)$$
$$\simeq2.13$$
3) On veut calculer $$\int_1^5x\times e^x\;\operatorname dx$$ Pour une fonction comme ceci vous pouvez tester de nombreuses technique cependant, une des plus efficaces est l’intégration par parties.
On pose u(x)=x donc u'(x)=1
et v'(x)=ex donc v(x)=ex
Donc on a $$\int_1^5x\times e^x\;\operatorname dx=\left[x\times e^x\right]_1^5-\int_1^51\times e^x\operatorname dx$$
$$\int_1^5x\times e^x\;\operatorname dx=\left[x\times e^x\right]_1^5-\;\left[e^x\right]_1^5$$
$$\int_1^5x\times e^x\;\operatorname dx=\left(5e^5-e^1\right)-\;\left(e^5-e^1\right)$$
$$\int_1^5x\times e^x\;\operatorname dx=4e^5$$
4) Pour les plus à l’aise je vais utiliser une méthode que je trouve assez sympa.
Pour cela il faut connaitre les formules d’Euler en particulier celle-ci: $$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2$$ ( Voir nombres complexes )
On veut donc calculer $$\int_0^1\cos^2(x)\;\operatorname dx$$
Cependant, on ne sait pas calculer la primitive d’un produit. Certains pourraient penser à une intégration par parties comme le cas précédent pour supprimer le produit.
Cependant, cela ne marchera pas, vous resterez bloqué ( testez pour comprendre ).
On va donc utiliser la méthode de la « linéarisation d’Euler » pour linéariser le cosinus et le ramener sous une forme que l’on peut intégrer.
On a donc $$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2$$
$$\cos^2(x)=\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2\right)^2$$
$$\cos^2(x)=\frac{\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^2}4$$
$$\cos^2(x)=\frac{e^{2ix}+2e^x\times e^{-x}+e^{-2ix}}4$$
$$\cos^2(x)=\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}+2e^0}4$$
$$\cos^2(x)=\frac12\times\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}2+\frac12$$
$$\cos^2(x)=\frac12\cos(2x)+\frac12$$
On a désormais linéarisé le cosinus au carré.
Donc on a, $$\int_0^1\frac{\cos(2x)}2+\frac12\;\operatorname dx$$
$$\int_0^1\frac{\cos(2x)}2\operatorname dx\;+\;\int_0^1\frac12\operatorname dx$$
$$\frac12\int_0^1\cos(2x)\;\operatorname dx\;+\;\int_0^1\frac12\operatorname dx$$
$$\frac12\times\frac12\times2\int_0^1\cos(2x)\;\operatorname dx\;+\;\int_0^1\frac12\operatorname dx$$
$$\frac14\int_0^12\cos(2x)\;\operatorname dx\;+\;\int_0^1\frac12\operatorname dx$$
Pour l’intégrale de gauche, on s’est ramené à une forme que l’on connaît qui est, u'(x)×cos( u(x) )
Donc, $$\frac14\;\left[\sin(2x)\right]_0^1\;+\;\left[\frac12x\right]_0^1$$
$$\frac14\left(\;\sin(2)-\sin(0)\;\right)\;+\frac12$$
$$\frac14\left(\;\sin(2)\;\right)\;+\frac12$$
$$\frac14\left(\;\sin(2)+2\right)$$
