Connaître l’aire sous la courbe d’une fonction quelconque peut paraître très difficile du premier abord, cependant il suffit de maîtriser l’intégration !
Introduction à l’ntégration
Soit f une fonction continue et positive, l’intégrale entre a et b et un nombre réel qui correspond à l’aire sous la courbe entre a et b.
On note: ∫baf(x)dx
Et on lit, « Intégrale de f entre a et b »
Pour mieux comprendre l’intégration, il faut définir les primitives.
Primitives
On dit que F est une primitive de f si et seulement si F’=f ( La dérivée de la primitive d’une fonction est cette fonction ).
Il existe une infinité de primitives à une même fonction qui diffère toutes d’une constante.
Par exemple la primitive de 5 peut être 5x ou bien 5x+3.
Eh oui, car la dérivée de 5x est bel et bien 5 mais celle aussi de 5x+3.
Attention, toutes les fonctions n’admettent pas de primitive. Cependant, la majorité des cas que l’on traitera en admettons car une fonction continue sur son intervalle de définition admet une primitive.
Si F et G sont les primitives des fonctions f et g, alors la fonction F+G est la primitive de la fonction f+g
Si F est la primitive de la fonction f alors λF et la primitive de la fonction λf
Voici un tableau résumant toutes les primitives possibles en fonction de certains types de fonctions:
Plus généralement, soit u une fonction continue sur son intervalle de définition:
Lien avec l’intégration
Maintenant que nous savons ce qu’est une primitive de fonction on peut introduire le lien avec l’intégration, car on a: ∫baf(x)dx=F(b)−F(a)
Souvent, vous verrez la notation suivante: ∫baf(x)dx=[F(x)]ba car on a [F(x)]ba=F(b)−F(a)
On définit aussi:
– La fonction Fa=∫xaf(x)dxtqF(a)=0
– La valeur moyenne de f entre a et b est, k=1b−a∫baf(x)dx
Ce qui est important de retenir c’est que l’intégrale de f entre a et b est égale à la primitive de f évalué en b moins la primitive de f évalué en a
On sait désormais calculer l’aire sous la courbe d’une fonction positive sur un intervalle donné.
Propriétés de l’intégration
Relation de Chasles: ∫caf(x)dx=∫baf(x)dx+∫cbf(x)dx
Positivité de l’intégrale:
f(x)≥0sur[a;b]⇒∫baf(x)dx≥0
Croissance de l’intégrale: f≤g⇒∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx
Linéarité de l’intégrale: ∫ba(f+λg)=∫baf+λ∫bag
En vous entrainant vous allez vite remarquer que l’on peut vite être bloqué pour intégrer des fonctions, il existe donc de nombreuses solutions pour se « débloquer », dont une très puissante,
L’intégration par parties: ∫bauv′=[uv]ba−∫bau′v
Exercices
1) Déterminer la primitive qui s’annule en 0 de la fonction f(x)=3e3x
2) Calculer ∫93g(x)dxavecg(x)=2x+3x2+3x−5
3) Calculer ∫51x×exdx
4) Calculer ∫10cos2(x)dx
Corrections
Dans les calculs d’intégration, il ne sert à rien de mettre les constantes dans les calculs de primitives car elles s’annulent en faisant la différence de primitives F(b)-F(a).
1) On veut tout d’abords calculer la primitive de la fonction f(x). Grâce aux seconds tableaux on remarque que f(x) est de la forme u'(x) e(u(x)) avec u(x)=3x.
Donc les primitives sont du type F(x)=eu(x) + C.
C’est-à-dire que F(x)=e3x+C
Cependant, on veut que F(0)=0.
Donc, e0+C=0
C=−1
Donc la primitive de cette fonction qui s’annule en 0 est F(x)=e3x-1
2) On veut calculer l’intégrale de 3 à 9 de g(x). On veut donc tout d’abord calculer la primitive de cette fonction.
On remarque que la fonction est du type u'(x)/u(x).
Donc les primitives de g(x) sont du type G(x)=ln(u(x))+C
Donc, G(x)=ln(x2+3x−5)+C
Désormais on a ∫93g(x)dx=[G(x)]93
Donc ∫93g(x)dx=G(9)−G(3)
ln(92+3×9−5)−ln(32+3×3−5)
ln(103)−ln(13)
≃2.13
3) On veut calculer ∫51x×exdx Pour une fonction comme ceci vous pouvez tester de nombreuses technique cependant, une des plus efficaces est l’intégration par parties.
On pose u(x)=x donc u'(x)=1
et v'(x)=ex donc v(x)=ex
Donc on a ∫51x×exdx=[x×ex]51−∫511×exdx
∫51x×exdx=[x×ex]51−[ex]51
∫51x×exdx=(5e5−e1)−(e5−e1)
∫51x×exdx=4e5
4) Pour les plus à l’aise je vais utiliser une méthode que je trouve assez sympa.
Pour cela il faut connaitre les formules d’Euler en particulier celle-ci: cos(x)=eix+e−ix2 ( Voir nombres complexes )
On veut donc calculer ∫10cos2(x)dx
Cependant, on ne sait pas calculer la primitive d’un produit. Certains pourraient penser à une intégration par parties comme le cas précédent pour supprimer le produit.
Cependant, cela ne marchera pas, vous resterez bloqué ( testez pour comprendre ).
On va donc utiliser la méthode de la « linéarisation d’Euler » pour linéariser le cosinus et le ramener sous une forme que l’on peut intégrer.
On a donc cos(x)=eix+e−ix2
cos2(x)=(eix+e−ix2)2
cos2(x)=(eix+e−ix)24
cos2(x)=e2ix+2ex×e−x+e−2ix4
cos2(x)=e2ix+e−2ix+2e04
cos2(x)=12×e2ix+e−2ix2+12
cos2(x)=12cos(2x)+12
On a désormais linéarisé le cosinus au carré.
Donc on a, ∫10cos(2x)2+12dx
∫10cos(2x)2dx+∫1012dx
12∫10cos(2x)dx+∫1012dx
12×12×2∫10cos(2x)dx+∫1012dx
14∫102cos(2x)dx+∫1012dx
Pour l’intégrale de gauche, on s’est ramené à une forme que l’on connaît qui est, u'(x)×cos( u(x) )
Donc, 14[sin(2x)]10+[12x]10
14(sin(2)−sin(0))+12
14(sin(2))+12
14(sin(2)+2)
