Pour réaliser des calculs avec des très grands nombres, il est nécessaire de maîtriser les puissances, venez les découvrir !
Définition
Une puissance d’un nombre et la répétition de la multiplication de ce même nombre, le nombre de fois égale à la puissance.
On note xn et on lit “x puissance n”
Par exemple, $$6^4=6\times6\times6\times6=1296$$
On a donc 6 puissances 4 égale 1296.
Cela peut être utile pour des plus gros calculs et expressions pour simplifier l’écriture de ceux-ci.
Propriétés
Tout d’abord, chaque nombre à la puissance 0 est égal à 1, y compris 00=1.
$$x^0=1\;\;\;\forall x\in\mathbb{R}$$
$$x^{-n}=\frac1{x^n}$$
$$x^a\times x^b=x^{a+b}$$
$$\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$$
$$\left(x^a\right)^b=x^{a\times b}$$
$$\left(x\times y\right)^a=x^a\times y^a$$
Pour y ≠0 $$\left(\frac xy\right)^a=\frac{x^a}{y^a}$$
Attention, la plupart du temps, on a: $$x^{\left(a^b\right)}\neq\left(x^a\right)^b$$
On évite donc d’écrire $$x^{a^b}$$
Puissances de 10
Les puissances de 10 sont très faciles à utiliser et très pratiques pour des quantités astronomiques ou des très petites quantités.
Pour écrire trois millions de milliard on peut par exemple écrire 3×1015 au lieu de 3 000 000 000 000 000.
Voici donc un tableau des puissances de 10.
Au final multiplié un nombre à virgule par 10n revient à “décaler” cette virgule vers la droite n fois.
Dans le cas où on divise un nombre à virgule par 10n revient à “décaler” cette virgule vers la gauche n fois.
On remarque aussi que pour les puissances de 10, le nombre qui est à la puissance est égale au nombre de 0 présents.
Exercices
1) Simplifier l’expression: $$\frac{2^3}{2^5}$$
2) Simplifier l’expression: $$\frac{2^7\times2^{-5}}{2^5\times2^7}$$
3) Simplifier l’expression: $$\frac{3^4}{27^2}$$
4) Écrire le nombre 5.24×106
Corrections
1) D’après la propriété suivante: $$\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$$
On a $$\frac{2^3}{2^5}=2^{3-5}=2^{-2}$$
De plus, on sait que: $$x^{-n}=\frac1{x^n}$$
Donc, $$\frac{2^3}{2^5}=\frac1{2^2}=\frac1{2\times2}=\frac14$$
2) D’après la propriété suivante: $$x^a\times x^b=x^{a+b}$$
On a: $$\frac{2^7\times2^{-5}}{2^5\times2^7}=\frac{2^2}{2^{12}}$$
Donc, $$\frac{2^7\times2^{-5}}{2^5\times2^7}=2^{-10}=\frac1{2^{10}}$$
( Sauf si c’est demandé, il ne faut pas s’embêter à déterminer le résultat de 210 )
3) Pour ce troisième cas, on a un problème qui est que les nombres en dessous des puissances au numérateur et au dénominateur ne sont pas les mêmes, il faut donc se débrouiller pour les faires devenirs les mêmes.
Or on sait que: $$\frac{3^4}{27^2}=\frac{3^4}{\left(3\times3\times3\right)^2}$$
Or d’après la définition de la puissance, on a $$\frac{3^4}{27^2}=\frac{3^4}{\left(3^3\right)^2}$$
De plus, on sait que; $$\left(x^a\right)^b=x^{a\times b}$$
Donc, $$\frac{3^4}{27^2}=\frac{3^4}{3^6}$$
En raisonnant de la même manière que les autres cas, on obtiens: $$\frac{3^4}{27^2}=\frac1{3^2}=\frac19$$
4) On sait que 106 correspond à un million, soit 1 000 000. Si on multiplie un million par 5,24 il suffit juste de “décaler” la virgule vers la droite de 6 rangs. Cependant, il n’y a que deux rangs à droite donc les 4 derniers il faudrat s’imaginer qu’a la place de ne rien avoir, il y a des 0.
On a donc, 5 240 000.
L’écriture 5,24×106 est appelée l’écriture scientifique de 5 240 000, elle est souvent utilisé pour des très grands ou petits nombres.
