Les suites sont un outil important dans les mathématiques à tout niveau. Elles vous seront très utiles dans le futur, et doivent être comprises et maîtrisées.
Définition et vocabulaire
Une suite numérique est une fonction u qui prend des valeurs réelles et dont la variable ” n ” est un entier naturel. L’image de n par cette fonction sera notée ” un ” :
u : ℕ —-> ℝ
n —-> un
” la suite u de ℕ dans ℝ qui à n associe un.”
La suite sera notée ” ( un ) “.
Les valeurs prises par la suite seront appelées ses termes et la position de chaque terme dans la suite (la valeur de n correspondante) sera appelée son indice ( ou son rang ).
Attention aux notations :
La suite est notée ” ( un ) ” alors qu’un terme de cette suite est noté ” un “.
On peut définir une suite de deux façons différentes :
Suites définies de manière directe
– On peut définir les termes d’une suite directement par une fonction un = f(n). Avec f une fonction définie sur ℝ.
On peut représenter graphiquement les termes d’une suite.
Si pour tout n ∈ ℕ, un = f(n), il suffit de placer les points de Cf ( courbe représentative de la fonction f ) d’abscisses entières.
Exemple : un = 2n + 3
Les premiers termes de cette suite seront : u0 = 3 ; u1 = 5 ; u2 = 7 ; u3 = 9 ; …
Suites définie de manière récurrente
– On peut aussi définir une suite par récurrence. u0 ∈ ℝ ( connu ) et un+1 = f ( un ), n ∈ ℕ, avec f une fonction définie sur ℝ.
Pour représenter une suite définie par récurrence, on trace la courbe Cf ainsi que la droite d’équation y = x et on procède de la façon suivante :
– On place u0 sur l’axe des abscisses.
– Comme u1 = f(u0), on lit alors u1 sur l’axe des ordonnées.
– On utilise alors la droite d’équation y = x pour projeter u1 sur l’axe des abscisses.
– On lit alors u2 = f(u1) sur l’axe des ordonnées et on continue de même.
On lit alors les valeurs successives de un sur l’axe des abscisses.
Exemple d’une suite récurrente : un+1 = 2un + 1 et u0 = 2. Les premiers termes de cette suite seront : u0 = 2 ; u1 = 5 ; u2 = 11 ; u3 = 23 ; …
Propriétés des suites
VARIATIONS:
On dit que :
(un) est croissante si, pour tout n ∈ ℕ, un+1 ≥ un ou bien un+1 – un ≥ 0
(un) est décroissante si, pour tout n ∈ ℕ, un+1 ≤ un ou bien un+1 – un ≤ 0
(un) est monotone sur un intervalle si elle est croissante ou décroissante sur cet intervalle.
Conseil: pour étudier le sens de variation d’une suite on étudie le signe de un+1 – un ou bien dans certains cas, on peut étudier si un+1 / un est supérieur ou égale à 1. Si le premier terme est positif et que le quotient est supérieur à 1 alors la suite est croissante, s’il est inférieur à 1 elle est décroissante, s’il est égale à 1 elle est constante.
Dans le cas où le premier terme est négatif la suite est croissante (respectivement décroissante) si un+1 / un est inférieur à 1 (respectivement supérieur à 1)
On dit qu’une suite est strictement croissante / décroissante si un+1 – un est supérieur / inférieur strictement à zéro.
SUITES MAJORÉES, MINORÉES, BORNÉES :
On dit que :
(un) est majorée par M, s’il existe M ∈ ℝ tel que pour tout n ∈ ℕ, un ≤ M
(un) est minorée par m, s’il existe m ∈ ℝ tel que pour tout n ∈ ℕ, un ≥ m
(un) est bornée par m et M, s’il existe m et M ∈ ℝ tel que pour tout n ∈ ℕ, m ≤ un ≤ M
LIMITES :
On dit qu’une suite (un) tend vers l ∈ ℝ et on note $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\;u_n\;=\;l$$ si les valeurs de un finissent par se rapprocher aussi près qu’on le veut de l, à condition de prendre n suffisamment grand. Dans ce cas, on dit que la suite un est convergente.
Exemple: $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\;\frac1n\;=\;0$$
On dit qu’une suite (un) tend vers plus l’infinie, et on note $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\;u_n\;=\;+\infty$$ si les valeurs de un finissent par dépasser n’importe quel réel A ( supposé très grand ) à condition de prendre n suffisamment grand. Dans ce cas on dit que la suite un est divergente.
Exemple: $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\;n^2\;=\;+\infty$$
Il se peut qu’une suite n’ait aucun des deux comportements précédent, dans ce cas elle n’a pas de limite et est dite également divergente.
Exemple:$$\lim_{n\rightarrow+\infty}{(-1)}^n\;=\;-1\;\;Si\;n\;impair$$
$$\lim_{n\rightarrow+\infty}{(-1)}^n\;=\;1\;\;Si\;n\;pair$$
Les suites arithmétiques
On dit qu’une suite (un) est arithmétique de raison r ∈ ℝ si pour tout n ∈ ℕ, $$\;u_{n+1}\;=\;u_n\;+\;r$$
C’est-à-dire qu’une suite est arithmétique si pour passer d’un terme à l’autre, on ajoute un même nombre r appelé la raison.
Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on prend n quelconque puis on calcule $$\;u_{n+1}\;-\;u_n$$ si c’est égale à une constante r alors la suite est arithmétique de raison r.
Exemple : un+1 = un – 2 est une suite arithmétique de raison -2 car un+1 – un = -2
Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r. On a alors :
$$u_n\;=\;u_0\;+\;nr$$
On peut généraliser la propriété précédente à n’importe quel rang m. On a alors :
$$u_n\;=\;u_m\;+\;(\;n\;-\;m\;)\times r$$
On note la somme de la suite $$S_n=u_0+u_1+…+u_n=(n+1)\frac{u_0+u_n}2$$
que l’on peut aussi noter :
$$S_n\;=\;\sum_{k=0}^nu_k\;=\;(\;n+1\;)\;\frac{u_0\;+\;u_n}2$$
Les suites géométriques
On dit qu’une suite (un) est géométrique de raison q ∈ ℝ si pour tout n ∈ ℕ,
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\;q$$
C’est-à-dire qu’une suite est géométrique si pour passer d’un terme à l’autre on ajoute un même nombre r appelé la raison.
Pour montrer qu’une suite est géométrique, on prend un n quelconque puis on calcule $$\frac{\;u_{n+1}\;}{u_n}$$ si c’est égale à une constante q alors la suite est géométrique de raison q.
Exemple : un+1 = 3un est une suite géométrique de raison 3.
Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q différente de 0. On a alors :
$$u_n\;=\;u_0\;\times\;q^n$$
On peut généraliser la propriété précédente à n’importe quel rang m. On a alors :
$$u_n\;=\;u_m\;\times\;q^{n-m}$$
On note $$S_n=u_0+u_1+\dots+u_n=u_0\times\frac{1\;-\;q^{n+1}}{1-q\;\;\;\;\;\;}$$
que l’on peut aussi noter :
$$S_n\;=\sum_{k=0}^n\;u_k\;=\;u_0\times\frac{1\;-\;q^{n+1}}{1\;-\;q\;\;\;\;\;\;}$$
Exercices
1) Soit (un) la suite définie par un+1 = un + 3 et u3 = 15. Déterminer u125 à partir de u3 ?
2) Soit (vn) la suite définie par vn = 2n+1 – 2n est elle géométrique ?
3) Étudier le sens de variation de la suite définie par un = 0,5n – n2. Est-elle majorée ? Minorée ? Sa limite est-elle finie ?
Corrections
1) On a $$u_{n+1}\;=\;u_n\;+\;3$$
Donc $$u_{n+1}-\;u_n=3$$
La suite (un) est donc arithmétique de raison 3.
On a $$u_n\;=\;u_m\;+\;(\;n\;-\;m\;)\times r$$ avec n = 125 et m = 3
Donc $$u_{125}\;=\;u_3\;+\;(\;125\;-\;3\;)\times3$$
$$u_{125}\;=\;15\;+\;122\times3$$
$$u_{125}\;=\;381$$
2) On a $$v_n\;=\;2^{n+1}-\;2^n$$
$$v_{n+1}\;=\;2^{n\;+1+1}-\;2^{n+1}\;=\;2^{n+2}\;-\;2^{n+1}$$
$$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\;\frac{2^{n+2}\;-\;2^{n+1}\;}{2^{n+1}-\;2^n}$$
$$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\;\frac{2^n\times\;2^2\;-\;2^n\times\;2}{2^n\times2-\;2^n}$$
En factorisant par 2n: $$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\;\frac{2^n\times(\;\;2^2-\;2\;)}{2^n\times(\;2\;-\;1\;)}$$
En simplifiant par 2n:$$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\;\frac{4-2}{2-1}$$
$$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\;\frac21=\;2$$
Donc la suite est géométrique de raison 2.
3) On a $$u_n\;=\;\frac n2\;-\;n^2$$
$$u_{n+1}\;=\;\frac{(\;n\;+\;1\;)}2\;-\;{(n+1)}^2$$
Donc:
$$u_{n+1}-u_n=\frac{(n+1)}2-{(n+1)}^2-(\frac n2-n^2)$$
$$u_{n+1}\;-\;u_n\;=\;-\;2n\;-\;\frac12\;\;$$
Or pour n ∈ ℕ $$-\;2n\;-\;\frac12\;\;<\;0$$
Donc $$u_{n+1}\;-\;u_n\;\;<\;0$$
Donc la suite (un) est décroissante pour n ∈ ℕ.
La suite est décroissante, donc on peut en déduire que le terme u0 est le plus grand des termes de la suite, car d’après la définition d’une suite décroissante, on a un+1 ≤ un.
Or u0 = 0 donc la suite est majorée par 0.
( Attention, tous les nombres supérieurs à un majorant sont aussi des majorants cependant, il est plus intéressant de prendre le plus petit des majorants. De même pour les minorants, tous les nombres plus petits qu’un minorant sont des minorants cependant, il est plus intéressant de prendre le plus grand des minorants. )
Pour la limite on a :
$$\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n\;=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac n2\;-\;n^2$$
$$\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n\;=\lim_{n\rightarrow+\infty}n^{2\;}\times(\;\frac{1\;}{2n}-\;1\;)$$
$$\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n\;=\lim_{n\rightarrow+\infty}n^{2\;}\times(\;-\;1\;)$$
$$\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n\;=-\infty$$
Donc la limite n’est pas finie ( la suite est divergente ) et on peut en déduire que la suite n’est pas minorée car il existe toujours un terme de la suite plus petit qu’un réel m aussi petit qu’on le prenne.
