Vous avez forcément déjà utilisé les probabilités grâce à votre intuition. Par exemple, pour savoir quelle est la chance de faire un certain numéro sur un dé. Mais connaissez-vous vraiment cette branche des mathématiques ?
Définitions
Une expérience aléatoire est une expérience dont les résultats dépendent du hasard.
– On appelle issues un des résultats possibles de l’expérience aléatoire.
– On appelle univers, noté Ω, toutes les issues possibles de l’expérience aléatoire.
– On appelle événement un ensemble d’issues de l’univers.
– On appelle événement complémentaire de A l’événement qui contient toutes les issues que A ne contient pas, on le note Ā.
– On appelle partition d’un univers tout ensemble 2 à 2 disjoints et dont la réunion reconstitue l’univers.
Modéliser une expérience aléatoire c’est associer à chaque issue une probabilité. Pour cela, il existe différentes manières.
On peut:
– Répéter un grand nombre de fois l’expérience puis discuter selon les valeurs.
– Réfléchir avec un arbre de probabilité, un tableau… .
– Réfléchir à l’objet physique. (ex: un dé classique a 6 faces donc s’il est équilibré il a une chance sur 6 de tomber sur chaque face)
On définit la probabilité d’un évènement E noté P(E) par $$P(E)=\frac{Nombre\;d’issues\;favorables}{Nombres\;d’issues\;possibles}$$
Avec la probabilité l’on peut aussi calculer des probabilités d’union, d’intersection et en particulier la probabilité d’un événement sachant qu’un autre s’est déjà réalisé, on la note PA(B).
Union et Intersection
L’union peut être traduite par un “ou” et l’intersection peut être traduite par un “et”.
$$\omega\in A\cup B\;<=>\omega\in A\;ou\;\omega\in B$$ si une issue appartient à A∪B alors elle appartient à A ou à B ou au deux.
$$\omega\in A\cap B\;<=>\omega\in A\;et\;\omega\in B$$ si une issue appartient à A∩B alors elle appartient à A et à B
On remarque que:
$$A\cup Ā=\Omega$$
$$A\cap Ā=\varnothing$$
un événement et son complémentaire forment donc une partition de l’univers.
Propriétés de la probabilité.
Soient A et B un événement.
$$P(\Omega)=1$$
$$P\left(\varnothing\right)=0$$
$$P(\overline A)=1-P(A)$$
$$P\left(A\right)+P\left(Ā\right)=1$$
En général: $$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$
En général: $$P_A\left(B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}$$
Indépendance
A et B sont indépendants si et seulement si $$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right)$$
Dans ce cas, on a aussi $$P_A\left(B\right)=P\left(B\right)$$
Incompatibilité
A et B sont incompatibles si et seulement si, $$A\cap B=\varnothing$$ c’est-à-dire que, $$P\left(A\cap B\right)=0$$
“Les deux événements ne peuvent pas se produire en même temps”
Dans ce cas, on a $$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$$ et aussi $$P_A\left(B\right)=0$$
Formule des probabilités totales
$$P\left(A\right)=P\left(A\cap B_1\right)+P\left(A\cap B_2\right)+…\;$$
Dans le cas où les événements Bi sont seulement deux on peut aussi voir la propriété sous la forme suivante.
$$P\left(A\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap\overline B\right)$$
Formule de Bayes
La formule de Bayes est: $$P_A\left(B\right)=\frac{P_B\left(A\right)\times P(B)}{P(A)}$$
Tableau
Dans certains exercices pour bien pouvoir raisonner il faut savoir utiliser les tableaux. Voici un tableau prenant en compte seulement 4 événements, cependant, il peut être adapté à plus d’événement.
Arbre probabiliste
De temps en temps, pour représenter au mieux certains problèmes, il vaut mieux utiliser les arbres de probabilités. Voici un arbre prenant en compte seulement 4 événements, cependant il peut être adapté à plus d’événements.
Sachant que chaque probabilité dans l’arbre est remplacé par un réel compris entre 0 et 1.
Diagramme de Venn
On appelle Diagramme de Venn une illustration de cercle ou autres forme représentant des ensembles qui s’entrecroisent montrant les relations logiques de ces ensembles.
Il peut être utile pour visualiser certaines propriétés pas évidentes à voir dans un premier temps.
Voici à quoi ressemble ce diagramme.
Exercices
1) Dans une classe de 35 élèves, il y a 20 filles et 15 garçons. Chaque personne est obligée de pratiquer un sport et a le choix entre 2 sports: le volley et le badminton.
Au Badminton, il y a 18 personnes composées à deux tiers de filles.
On définit:
A est l’évènement: “l’élève est une fille”
Ā est l’évènement: “l’élève est un garçon”
B est l’évènement: “l’élève fait du badminton”
B̅ est l’évènement: “l’élève fait du volley”
– Faire un tableau de probabilité résumant la situation.
– On prend un garçon au hasard, quelle est la probabilité qu’il fasse du volley ?
2) Une expérience aléatoire est représentée par l’arbre de probabilité ci-dessous. De plus, on sait que P(B)=0,39
Calculer P(A∩B) puis en déduire PA(B)
3) On lance un dé classique, bien équilibré, dont les faces sont numérotés de 1 à 6
Soit A l’événement “Le nombre obtenu est impair”
Soit B l’événement “Le nombre obtenu est un multiple de 3”
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Corrections
1) Il y a deux tiers de filles dans un groupe de 18 personnes, c’est-à-dire qu’il y a 12 filles qui font du badminton. On en déduit donc que seulement 6 garçons pratiquent ce sport.
Tous les élèves sont obligés de pratiquer un des deux sports, donc nécessairement, il y 9 garçons qui pratiquent du volley et 8 filles.
On a maintenant toutes les informations pour faire le tableau de probabilité
Désormais, on prend un garçon au hasard parmi les 15 garçons et on veut savoir qu’elle est la probabilité qu’il pratique du volley.
Il y a 9 garçons qui font du volley donc la probabilité est de 9/15.
On vient de calculer la probabilité d’un événement en sachant un autre.
2) Tous d’abord, il faut compléter l’arbre.
On sait que $$P(A)+P(Ā)=1$$
Donc, on comprend que P(Ā)=0,9 et par la même occasion que PĀ(B̅)=0,6.
Désormais, il nous manque les deux probabilités suivantes: PB(A) et PB(Ā).
Pour les déterminer il suffit d’en déterminer un seul. Pour cela, on va utiliser la formule des probabilités totales.
$$P(B)=P(A)\times P_A\left(B\right)\;+\;P(Ā)\times P_Ā(B)$$
On a donc, $$0,39=0,1\times P_A\left(B\right)\;+\;0,9\times0,4$$
$$0,39=0,1\times P_A\left(B\right)\;+\;0,9\times0,4$$
$$0,39-0,36=0,1\times P_A\left(B\right)\;$$
$$\frac{0,03}{0,1}=P_A\left(B\right)\;$$
$$0,3=P_A\left(B\right)\;$$
3) Les événements A et B sont indépendants si et seulement si: $$P(A\cap B)=P\left(A\right)\times P\left(B\right)$$
Exprimons ce que signifie l’évènement A∩B: “tomber sur un chiffre qui est impair et un multiple de 3”. On comprend facilement que la seule possibilité est le chiffre 3
De plus, le dé est dit bien équilibré donc on comprend que la probabilité de faire chaque numéro est la même.
On a donc $$P(A\cap B)=\frac16$$
De plus, on a 3 chances sur 6 de faire un chiffre impair, ce sont les issues 1, 3, 5.
On a 2 chances sur 6 de faire un multiple de 3, ce sont les issues 3, 6
Finalement, $$P\left(A\right)\times P(B)=\frac36\times\frac26$$
$$P\left(A\right)\times P(B)=\frac16$$
Donc, on a $$P(A\cap B)=P\left(A\right)\times P\left(B\right)$$
On en conclut donc que les évènements A et B sont indépendants.
