Vous avez envie de savoir utiliser et de connaître les propriétés du Théorème de Pythagore, vous êtes au bon endroit !
Historique
Le théorème de Pythagore est sûrement l’un des théorèmes les plus connus et apprit le plus tôt à l’école.
Il doit son nom à Pythagore de Samos ayant vécu au 6ème siècle avant Jésus-Christ. Pythagore était un philosophe mathématicien grec.
Cependant, il existe des traces d’autres civilisations qui avait la connaissance de cette propriété d’un triangle rectangle.
Ce théorème est la base de la géométrie et a permis de nombreuses avancées technologiques et est nécessaire dans de nombreux types d’applications comme l’architecture, l’ingénierie, etc…). Il est donc important de bien le connaître et de savoir l’appliquer.
Ce théorème est utile pour déterminer la longueur d’un des deux côtés à partir des deux autres ou même de montrer qu’un triangle est rectangle à partir des trois longueurs.
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. $$a^2\;+\;b^{2\;}=\;c^2$$
Il peut donc être utilisé de plusieurs manières différentes :
Différentes manières de l’utiliser
Le théorème de Pythagore : si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
La réciproque du théorème : si le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle est rectangle.
La contraposée : si le carré de la longueur de l’hypoténuse n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle n’est pas rectangle.
Démonstration
Il existe de nombreuses manières de démontrer ce théorème. La plus simple est rapide que je connaisse est celle par soustraction d’aire.
Pour une meilleure compréhension je vous invite à regarder l’illustration juste en dessous de la démonstration.
Prenons un carré que l’on nomme X de coté a + b
Dans ce carré on insère un autre carré que l’on nomme Y de coté C tel que les seuls 4 points d’intersection avec les arêtes du carré X soit les 4 sommets du carré Y. De façon à diviser l’air du carré X avec, le carré Y et 4 triangles rectangle de côté a et b.
C’est-à-dire que l’air du carré X est égal à la somme des aires du carré Y et des 4 triangles de côté A et B.
L’air du carré X est $$(\;a\;+\;b\;)\;\times\;(a\;+\;b)\;=\;{(a\;+\;b)}^2$$
$$(\;a\;+\;b\;)\;\times(\;a\;+\:b\;)\;=\:a^{2\;}\;+\:2ab\;+\:b^2$$
L’air du carré Y est $$c\times c\;=\;c^2$$
L’air d’un triangle rectangle est $$\frac{(a\times\;b)}2$$
On a donc: $$a^2\;+\;2ab\;+\;b^2\;=\;c^{2\;}\;+\;4\times(\frac{ab}2)$$
$$<=>\;a^2\;+\;2ab\;+\;b^2\;=\;c^{2\;}\;+\;2ab$$
$$<=>\;a^2\;+\;b^2\;=\;c^{2\;}\;$$
Tout triplet vérifiant les mêmes propriétés que celle du théorème de Pythagore est appelé
« triplets pythagoriciens » par exemple (3,4,5) ou (6,8,10) sont des triplets pythagoriciens.
Exercices
1) Le triangle dont ses côtés sont de longueurs 4 cm, 6 cm et son hypoténuse 7 cm est-il un triangle rectangle ? Quelle propriété du théorème de Pythagore utilisez-vous ?
2) On sait qu’un triangle est rectangle, son hypoténuse mesure 13 cm et un
de ses côtés 5 cm. Calculer le périmètre du triangle ? Quelle propriété du théorème de Pythagore utilisez-vous ?
3) Le triangle dont ses côtés sont de longueurs 3 cm, 5 cm et son hypoténuse 6 cm est-il un triangle rectangle ? Quelle propriété du théorème de Pythagore utilisez-vous ?
Corrections
1) $$4^{2\;}+\;6^2\;=\;7^2\;\;\;\;\;?$$
$$16+\;36\;=\;49\;\;\;\;\;?$$
$$52\neq49$$
Donc, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n’est pas rectangle.
2) Le triangle est rectangle, on nomme x le côté que l’on ne connaît pas.
On a donc, d’après le théorème de Pythagore , $$13^{2\;}=\;5^2\;+\;x^2$$
$$13^{2\;}-\;5^{2\;}=\;x^2$$
$$\sqrt{13^{2\;}-\;5^{2\;}}=\;x$$
$$\sqrt{144}=\;x$$
$$12\;=\;x$$
Donc, le dernier côté mesure 12 cm.
Donc le périmètre du triangle est 5 cm + 12 cm + 13 cm = 30 cm
3) $$3^{2\;}+\;5^{2\;}=\;6^2\;\;\;\;\;?$$
$$9\;+\;25\;=\;36\;\;\;\;\;?$$
$$36\;=\;36$$
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
